Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos itens abaixo. Se elas não estiverem satisfeitas, decida se a conclusão do Teorema ainda vale.
(a) f(x) = x^(1/3), [a, b] = [-8, 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o Teorema do Valor Médio (TVM) se aplica à função no intervalo . Para isso, precisamos lembrar quais são as condições que o TVM exige e ver se elas são atendidas. Se alguma condição não for cumprida, vamos ver se a conclusão do teorema ainda é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema do Valor Médio. Ele afirma que se uma função é contínua em um intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe pelo menos um ponto em onde a derivada de nesse ponto é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos e .

Passo 3

Agora, primeira condição: a função é contínua no intervalo ? Sim, ela é contínua em todo o seu domínio, que inclui todos os números reais, já que a raiz cúbica está definida para números negativos, zero e positivos.

Passo 4

Segunda condição: a função é diferenciável no intervalo aberto ? Vamos calcular a derivada para ver:
A derivada existe para todo no intervalo , exceto quando , ou seja, quando . Portanto, a função não é diferenciável em , que está dentro do intervalo .

Passo 5

Como a função não é diferenciável em todo o intervalo aberto, a segunda condição do TVM não é satisfeita. Isso significa que, tecnicamente, o Teorema do Valor Médio não se aplica diretamente a essa função no intervalo dado.

Passo 6

Mesmo com a condição falha, vamos verificar se a conclusão do TVM ainda pode valer. Calculamos a inclinação da reta secante:
çã
Agora, buscamos um ponto em onde a derivada :
No entanto, está no limite direito do intervalo fechado e não pertence ao intervalo aberto . Então, não existe um dentro de que satisfaça a igualdade.

Resposta

As hipóteses do Teorema do Valor Médio não estão totalmente satisfeitas para a função no intervalo , já que a função não é diferenciável em . Além disso, a conclusão do teorema também não se aplica, pois não existe um ponto em onde a derivada de seja igual à inclinação da reta secante.

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