Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos itens abaixo. Se elas não estiverem satisfeitas, decida se a conclusão do Teorema ainda vale.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o Teorema do Valor Médio (TVM) se aplica à função
no intervalo
. Para isso, precisamos lembrar quais são as condições que o TVM exige e ver se elas são atendidas. Se alguma condição não for cumprida, vamos ver se a conclusão do teorema ainda é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema do Valor Médio. Ele afirma que se uma função
é contínua em um intervalo fechado
e diferenciável no intervalo aberto
, então existe pelo menos um ponto
em
onde a derivada de
nesse ponto é igual à inclinação da reta secante que liga os pontos
e
.
Passo 3
Agora, primeira condição: a função
é contínua no intervalo
? Sim, ela é contínua em todo o seu domínio, que inclui todos os números reais, já que a raiz cúbica está definida para números negativos, zero e positivos.
Passo 4
Segunda condição: a função
é diferenciável no intervalo aberto
? Vamos calcular a derivada para ver:
A derivada
existe para todo
no intervalo
, exceto quando
, ou seja, quando
. Portanto, a função não é diferenciável em
, que está dentro do intervalo
.
Passo 5
Como a função não é diferenciável em todo o intervalo aberto, a segunda condição do TVM não é satisfeita. Isso significa que, tecnicamente, o Teorema do Valor Médio não se aplica diretamente a essa função no intervalo dado.
Passo 6
Mesmo com a condição falha, vamos verificar se a conclusão do TVM ainda pode valer. Calculamos a inclinação da reta secante:
Agora, buscamos um ponto
em
onde a derivada
:
No entanto,
está no limite direito do intervalo fechado e não pertence ao intervalo aberto
. Então, não existe um
dentro de
que satisfaça a igualdade.
Resposta
As hipóteses do Teorema do Valor Médio não estão totalmente satisfeitas para a função
no intervalo
, já que a função não é diferenciável em
. Além disso, a conclusão do teorema também não se aplica, pois não existe um ponto
em
onde a derivada de
seja igual à inclinação da reta secante.
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não é um ponto de inflexão da função
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(a)
(a)
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(b)
(b)
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(b)
(b)