Verifique que, apesar de f''(1)=0, x=1 não é um ponto de inflexão da função f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 + 4x - 3. É mínimo ou máximo relativo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e queremos saber se, mesmo com a segunda derivada em sendo zero, esse ponto não é um ponto de inflexão. Além disso, precisamos descobrir se esse ponto é um mínimo ou um máximo relativo. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas e concavidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que nos ajuda a identificar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. A primeira derivada é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de , que nos dá informações sobre a concavidade da função. A segunda derivada é:

Passo 4

Vamos calcular para verificar a concavidade no ponto :
Como , podemos pensar que é um ponto de inflexão. Mas não é tão simples assim, precisamos investigar mais a fundo.

Passo 5

Para confirmar se é realmente um ponto de inflexão, vamos analisar o sinal da segunda derivada nos arredores desse ponto. Se a concavidade muda de cima para baixo ou vice-versa quando passamos por , então é um ponto de inflexão.
Vamos escolher valores próximos a 1, por exemplo, e :
Ambos os valores são positivos, o que significa que a concavidade não mudou ao passar por . Portanto, não é um ponto de inflexão.

Passo 6

Agora, vamos determinar se é um mínimo ou um máximo relativo. Para isso, usamos a primeira derivada. Se a derivada muda de negativa para positiva, temos um mínimo; se muda de positiva para negativa, é um máximo.
Vamos calcular :
Como , que é diferente de zero, na verdade, não é um ponto crítico. Portanto, não podemos afirmar que é um mínimo ou máximo relativo apenas com essa informação. Precisamos verificar melhor.

Passo 7

Vamos verificar os pontos críticos resolvendo :
Podemos fatorar essa equação:
Testando :
Testando :
Parece que não é raiz da derivada, o que confirma que não é ponto de máximo ou mínimo relativo.

Resposta

O ponto não é um ponto de inflexão nem um ponto de mínimo ou máximo relativo da função .

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Nos itens abaixo, determine os pontos críticos da função dada. Use o teste da primeira derivada para determinar se os pontos críticos encontrados são extremos relativos.
(a) f(x)=x^3-6x^2+12x-7
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(a) f(x) = x^(1/3), [a, b] = [-8, 1]
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(b) f(t) = { t^2, t < 0; 3t^2, t ≥ 0 }