Verifique que, apesar de não é um ponto de inflexão da função . É mínimo ou máximo relativo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e queremos saber se, mesmo com a segunda derivada em sendo zero, esse ponto não é um ponto de inflexão. Além disso, precisamos descobrir se esse ponto é um mínimo ou um máximo relativo. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas e concavidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que nos ajuda a identificar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. A primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada de , que nos dá informações sobre a concavidade da função. A segunda derivada é:
Passo 4
Vamos calcular para verificar a concavidade no ponto :
Como , podemos pensar que é um ponto de inflexão. Mas não é tão simples assim, precisamos investigar mais a fundo.
Passo 5
Para confirmar se é realmente um ponto de inflexão, vamos analisar o sinal da segunda derivada nos arredores desse ponto. Se a concavidade muda de cima para baixo ou vice-versa quando passamos por , então é um ponto de inflexão.
Vamos escolher valores próximos a 1, por exemplo, e :
Ambos os valores são positivos, o que significa que a concavidade não mudou ao passar por . Portanto, não é um ponto de inflexão.
Passo 6
Agora, vamos determinar se é um mínimo ou um máximo relativo. Para isso, usamos a primeira derivada. Se a derivada muda de negativa para positiva, temos um mínimo; se muda de positiva para negativa, é um máximo.
Vamos calcular :
Como , que é diferente de zero, na verdade, não é um ponto crítico. Portanto, não podemos afirmar que é um mínimo ou máximo relativo apenas com essa informação. Precisamos verificar melhor.
Passo 7
Vamos verificar os pontos críticos resolvendo :
Podemos fatorar essa equação:
Testando :
Testando :
Parece que não é raiz da derivada, o que confirma que não é ponto de máximo ou mínimo relativo.
Resposta
O ponto não é um ponto de inflexão nem um ponto de mínimo ou máximo relativo da função .