Verifique que, apesar de
não é um ponto de inflexão da função
. É mínimo ou máximo relativo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e queremos saber se, mesmo com a segunda derivada em
sendo zero, esse ponto não é um ponto de inflexão. Além disso, precisamos descobrir se esse ponto é um mínimo ou um máximo relativo. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre derivadas e concavidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que nos ajuda a identificar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe. A primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada de
, que nos dá informações sobre a concavidade da função. A segunda derivada é:
Passo 4
Vamos calcular
para verificar a concavidade no ponto
:
Como
, podemos pensar que
é um ponto de inflexão. Mas não é tão simples assim, precisamos investigar mais a fundo.
Passo 5
Para confirmar se
é realmente um ponto de inflexão, vamos analisar o sinal da segunda derivada nos arredores desse ponto. Se a concavidade muda de cima para baixo ou vice-versa quando passamos por
, então é um ponto de inflexão.
Vamos escolher valores próximos a 1, por exemplo,
e
:
Ambos os valores são positivos, o que significa que a concavidade não mudou ao passar por
. Portanto,
não é um ponto de inflexão.
Passo 6
Agora, vamos determinar se
é um mínimo ou um máximo relativo. Para isso, usamos a primeira derivada. Se a derivada muda de negativa para positiva, temos um mínimo; se muda de positiva para negativa, é um máximo.
Vamos calcular
:
Como
, que é diferente de zero, na verdade,
não é um ponto crítico. Portanto, não podemos afirmar que é um mínimo ou máximo relativo apenas com essa informação. Precisamos verificar melhor.
Passo 7
Vamos verificar os pontos críticos resolvendo
:
Podemos fatorar essa equação:
Testando
:
Testando
:
Parece que
não é raiz da derivada, o que confirma que não é ponto de máximo ou mínimo relativo.
Resposta
O ponto
não é um ponto de inflexão nem um ponto de mínimo ou máximo relativo da função
.