Encontrar a relação entre a velocidade e a posição radial para o escoamento laminar de um fluido não-newtoniano, que flui em regime estacionário, no interior de uma canalização circular. A relação entre a tensão e a velocidade de cisalhamento é dada por:
tau=K(-d ud r)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a relação entre a velocidade (u) e a posição radial (r) para um fluido não-newtoniano que está escoando de maneira laminar e em regime estacionário dentro de uma canalização circular. O material que estamos lidando aqui envolve mecânica dos fluidos, especificamente escoamento de fluidos não-newtonianos. Para resolver, vamos precisar usar a relação entre a tensão de cisalhamento (τ) e a taxa de deformação (derivada da velocidade em relação a r), que é dada por:
tau = K(-dudr)^n

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa equação representa. τ é a tensão de cisalhamento no fluido, que é uma medida de quanta força está sendo aplicada para mover camadas do fluido umas sobre as outras. K e n são constantes que caracterizam o tipo de fluido não-newtoniano que estamos analisando.

Passo 3

Como estamos lidando com um escoamento estacionário e laminar em uma canalização circular, podemos usar a equação de equilíbrio de forças na direção radial. Em equilíbrio, a variação da tensão de cisalhamento ao longo do raio deve balancear a força centrípeta. A equação diferencial que descreve isso é:
1rddr(r tau) = 0

Passo 4

Substituindo a expressão da tensão de cisalhamento (τ) na equação de equilíbrio, temos:
1rddr(r K(-dudr)^n) = 0
Isso simplifica para:
ddr(r (-dudr)^n) = 0

Passo 5

Integrando ambos os lados da equação em relação a r, obtemos:
r (-dudr)^n = C
Onde C é a constante de integração. Para fluido que não tem movimento nas paredes (condição de contorno), podemos assumir que C = 0. Mas para um fluxo real, geralmente consideramos uma condição de não singularidade no centro, então a constante será ajustada conforme necessário.

Passo 6

Vamos resolver para du/dr:
(-dudr)^n = Cr
Tomando ambos os lados à potência de -dudr = (Cr)^1/n :
dudr = -(Cr)^1/n
Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 7

Agora, integramos essa expressão para encontrar :
integral du = -integral (Cr)^1/n dr
Isso resulta em:
u(r) = -C^1/n integral r^-1/n dr + D
Onde D é outra constante de integração.

Passo 8

Calculando a integral:
integral r^-1/n dr = nn - 1 r^(n-1)/n + constante
Então,
u(r) = -C^1/n cdot nn - 1 r^(n-1)/n + D

Passo 9

Aplicando as condições de contorno: geralmente, sabemos que a velocidade no centro da canalização (r=0) é máxima e nas paredes (r=R) é zero. Usando essas condições, podemos determinar as constantes C e D. Porém, para simplificação, podemos expressar a solução geral:
u(r) = Kn+1 ( R^(n+1)/n - r^(n+1)/n )

Resposta

A relação entre a velocidade u(r) = Kn+1 ( R^n+1n - r^n+1n ) e a posição radial para o escoamento laminar de um fluido não-newtoniano é dada por:
Onde:
  • é a constante do fluido,
  • é o expoente da relação de tensão,
  • é o raio da canalização.

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