Encontrar a relação entre a velocidade e a posição radial para o escoamento laminar de um fluido não-newtoniano, que flui em regime estacionário, no interior de uma canalização circular. A relação entre a tensão e a velocidade de cisalhamento é dada por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a relação entre a velocidade (u) e a posição radial (r) para um fluido não-newtoniano que está escoando de maneira laminar e em regime estacionário dentro de uma canalização circular. O material que estamos lidando aqui envolve mecânica dos fluidos, especificamente escoamento de fluidos não-newtonianos. Para resolver, vamos precisar usar a relação entre a tensão de cisalhamento (τ) e a taxa de deformação (derivada da velocidade em relação a r), que é dada por:

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa equação representa. τ é a tensão de cisalhamento no fluido, que é uma medida de quanta força está sendo aplicada para mover camadas do fluido umas sobre as outras. K e n são constantes que caracterizam o tipo de fluido não-newtoniano que estamos analisando.

Passo 3

Como estamos lidando com um escoamento estacionário e laminar em uma canalização circular, podemos usar a equação de equilíbrio de forças na direção radial. Em equilíbrio, a variação da tensão de cisalhamento ao longo do raio deve balancear a força centrípeta. A equação diferencial que descreve isso é:

Passo 4

Substituindo a expressão da tensão de cisalhamento (τ) na equação de equilíbrio, temos:
Isso simplifica para:

Passo 5

Integrando ambos os lados da equação em relação a r, obtemos:
Onde C é a constante de integração. Para fluido que não tem movimento nas paredes (condição de contorno), podemos assumir que C = 0. Mas para um fluxo real, geralmente consideramos uma condição de não singularidade no centro, então a constante será ajustada conforme necessário.

Passo 6

Vamos resolver para du/dr:
Tomando ambos os lados à potência de :
Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 7

Agora, integramos essa expressão para encontrar :
Isso resulta em:
Onde D é outra constante de integração.

Passo 8

Calculando a integral:
Então,

Passo 9

Aplicando as condições de contorno: geralmente, sabemos que a velocidade no centro da canalização (r=0) é máxima e nas paredes (r=R) é zero. Usando essas condições, podemos determinar as constantes C e D. Porém, para simplificação, podemos expressar a solução geral:

Resposta

A relação entre a velocidade e a posição radial para o escoamento laminar de um fluido não-newtoniano é dada por:
Onde:
  • é a constante do fluido,
  • é o expoente da relação de tensão,
  • é o raio da canalização.

Exercícios relacionados

Determine o coeficiente de autodifusão para o hélio a e . O raio atômico do hélio é aproximadamente e a massa molar . Compare com o valor experimental: .
Calcule o valor da difusividade do em a e 1 atm. Compare o resultado obtido com o valor tabelado.
Espécie
0,60 2,016
1,40 28,013
Determine as seguintes difusividades. Utilize a equação baseada na teoria cinética dos gases, bem como as equações Chapman-Enskog e a correlação de Fuller, Schetter e Diggins.
álcool propílico/ar a e 1 atm;
Que diferença de pressão é necessária para fazer a água a fluir através de uma canalização de 3 m de comprimento, cujo diâmetro interno é e na linha de centro a água tem uma velocidade de ?