Encontrar e representar graficamente as curvas de nível para
da função
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para encontrar e desenhar as curvas de nível para os valores de
da função
Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente trabalhando com funções de duas variáveis e suas curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função
para um valor constante
é o conjunto de todos os pontos
no plano que satisfazem a equação
. Ou seja, é onde a função atinge o valor
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função:
Queremos encontrar as curvas de nível para
. Então, vamos igualar a função a esses valores:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para
e
:
Essa é a equação de um círculo centrado na origem
com raio
, onde
.
Passo 5
Vamos calcular o raio para cada valor de
:
-
Para
: Isso significa que a curva de nível é apenas o ponto. -
Para
: Aqui, a curva de nível é um círculo com raio 2. -
Para
: A curva de nível é um círculo com raio 4. -
Para
: A curva de nível é um círculo com raio 6.
Passo 6
Agora, vamos representar graficamente essas curvas de nível:
-
: Um único ponto na origem. -
: Um círculo com raio 2 ao redor da origem. -
: Um círculo com raio 4 ao redor da origem. -
: Um círculo com raio 6 ao redor da origem.
Cada círculo representa onde a função
atinge o valor correspondente de
.
Resposta
As curvas de nível da função
para
são círculos centrados na origem com raios
,
,
e
, respectivamente. Graficamente, temos:
- Para
: O ponto . - Para
: Um círculo de raio . - Para
: Um círculo de raio . - Para
: Um círculo de raio .
Exercícios relacionados
Encontrar e representar graficamente o domínio da função
.
.
Determinar o vetor gradiente da função
no ponto
.
Dada a função
Calcular .
Calcular
Encontrar e representar graficamente o domínio da função
.
.