Encontrar e representar graficamente as curvas de nível para k = 0, 1, 4, 9 da função
z = 1/4 * (x^2 + y^2) z = 1/4 * raiz(x^2 + y^2)

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para encontrar e desenhar as curvas de nível para os valores de da função
Isso está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, especificamente trabalhando com funções de duas variáveis e suas curvas de nível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível de uma função para um valor constante é o conjunto de todos os pontos no plano que satisfazem a equação . Ou seja, é onde a função atinge o valor .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função:
Queremos encontrar as curvas de nível para . Então, vamos igualar a função a esses valores:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para e :
Essa é a equação de um círculo centrado na origem com raio , onde .

Passo 5

Vamos calcular o raio para cada valor de :
  • Para :
    Isso significa que a curva de nível é apenas o ponto .
  • Para :
    Aqui, a curva de nível é um círculo com raio 2.
  • Para :
    A curva de nível é um círculo com raio 4.
  • Para :
    A curva de nível é um círculo com raio 6.

Passo 6

Agora, vamos representar graficamente essas curvas de nível:
  • : Um único ponto na origem.
  • : Um círculo com raio 2 ao redor da origem.
  • : Um círculo com raio 4 ao redor da origem.
  • : Um círculo com raio 6 ao redor da origem.
Cada círculo representa onde a função atinge o valor correspondente de .

Resposta

As curvas de nível da função para são círculos centrados na origem com raios , , e , respectivamente. Graficamente, temos:
  • Para : O ponto .
  • Para : Um círculo de raio .
  • Para : Um círculo de raio .
  • Para : Um círculo de raio .

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