Encontrar e representar graficamente o domínio da função
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar e representar graficamente o domínio da função
. Para isso, vamos trabalhar com os conceitos de domínio de funções multivariadas, que envolve determinar para quais valores de
e
a função está bem definida. Precisamos garantir que o denominador não seja zero e que o que está dentro da raiz quadrada seja não negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a raiz quadrada:
. Para que a expressão dentro da raiz seja válida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Então, temos a condição:
Vamos reorganizar essa desigualdade para facilitar:
Isso significa que para cada valor de
,
precisa ser pelo menos
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador da fração:
. Para que a função não tenha divisão por zero, o denominador precisa ser diferente de zero:
Então,
não pode ser igual a 2.
Passo 4
Juntando as duas condições que encontramos:
Essas duas restrições definem o domínio da função. Isso significa que a função está definida para todos os pares
que satisfazem essas condições.
Passo 5
Para representar graficamente o domínio, imagine o plano cartesiano com
e
. A linha
será a fronteira. Todo ponto acima ou na linha
está no domínio, exceto aqueles onde
. No gráfico, isso se traduz em uma reta com uma linha fina contínua onde
e a região acima dela, mas sem a linha vertical que passa por
.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
tais que
e
. Graficamente, representa a região acima e sobre a reta
no plano
, excluindo a linha vertical onde
.
Exercícios relacionados
Determinar o vetor gradiente da função
no ponto
.
Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico de
no ponto
Encontrar e representar graficamente as curvas de nível para
da função
Dada a função
Calcular .
Calcular