Determinar o vetor gradiente da função f(x, y, z) = ln(5xy) + z e^(-2x + z) no ponto P(1, 1, -2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o vetor gradiente da função no ponto . Isso envolve calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor gradiente de uma função é dado por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a :
A derivada de em relação a é:
E a derivada de em relação a é:
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
E a derivada de em relação a é zero, já que não há nessa parte da função.
Então, a derivada parcial em relação a é:

Passo 5

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Porque não há nessa parte da função.
E a derivada de em relação a é:
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, o vetor gradiente é:
Vamos substituir o ponto na expressão:
Para :
Para :
Para :

Resposta

Portanto, o vetor gradiente no ponto é:

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