Determinar o vetor gradiente da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o vetor gradiente da função
no ponto
. Isso envolve calcular as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor gradiente de uma função
é dado por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
em relação a
é:
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada de
em relação a
é zero, já que não há
nessa parte da função.
Então, a derivada parcial em relação a
é:
Passo 5
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Porque não há
nessa parte da função.
E a derivada de em relação a
é:
E a derivada de
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais, o vetor gradiente é:
Vamos substituir o ponto
na expressão:
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
Portanto, o vetor gradiente no ponto
é:
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Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico de
no ponto
Determinar o vetor gradiente da função
no ponto
.
Encontrar e representar graficamente o domínio da função
.
.
Encontrar e representar graficamente as curvas de nível para
da função