Encontrar e representar graficamente as curvas de nível para da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos e representarmos graficamente as curvas de nível para os valores de da função .
Aqui, vamos usar o conceito de curvas de nível, que são aquelas onde a função é constante. Para isso, vamos precisar entender como transformar a função em equações simples de linhas e, depois, representá-las no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que são curvas de nível. Para uma função , uma curva de nível para um valor específico de é o conjunto de pontos onde . Matemáticamente, isso é:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa equação para facilitar a representação gráfica. Subtraindo 1 de ambos os lados, temos:
Essa é a equação de uma reta no plano . Cada valor de vai nos dar uma reta diferente.
Passo 4
Vamos calcular as equações das retas para cada valor de :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Agora, vamos reescrever cada equação na forma , onde é o coeficiente angular e é o intercepto.
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 6
Observamos que todas as retas têm o mesmo coeficiente angular , o que significa que são paralelas. A diferença está nos interceptos , que mudam conforme .
Agora, vamos plotar essas retas no gráfico.
Passo 7
Gráfico das Curvas de Nível
Vamos desenhar o plano cartesiano e plotar cada uma das retas:
para
para
para
para
Todas essas retas serão paralelas entre si, inclinadas para baixo com uma inclinação de , e cada uma estará mais acima ou abaixo da outra conforme o valor de .
Resposta
As curvas de nível para da função são quatro retas paralelas:
Essas retas podem ser representadas graficamente no plano como linhas paralelas inclinadas para baixo, cada uma deslocada verticalmente conforme os valores de .