Encontrar e representar graficamente as curvas de nível para k = -2, -1, 0, 1 da função
z = f(x, y) = x + 2y + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos e representarmos graficamente as curvas de nível para os valores de da função .
Aqui, vamos usar o conceito de curvas de nível, que são aquelas onde a função é constante. Para isso, vamos precisar entender como transformar a função em equações simples de linhas e, depois, representá-las no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que são curvas de nível. Para uma função , uma curva de nível para um valor específico de é o conjunto de pontos onde . Matemáticamente, isso é:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para facilitar a representação gráfica. Subtraindo 1 de ambos os lados, temos:
Essa é a equação de uma reta no plano . Cada valor de vai nos dar uma reta diferente.

Passo 4

Vamos calcular as equações das retas para cada valor de :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 5

Agora, vamos reescrever cada equação na forma , onde é o coeficiente angular e é o intercepto.
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Passo 6

Observamos que todas as retas têm o mesmo coeficiente angular , o que significa que são paralelas. A diferença está nos interceptos , que mudam conforme .
Agora, vamos plotar essas retas no gráfico.

Passo 7

Gráfico das Curvas de Nível

Vamos desenhar o plano cartesiano e plotar cada uma das retas:
  1. para
  2. para
  3. para
  4. para
Todas essas retas serão paralelas entre si, inclinadas para baixo com uma inclinação de , e cada uma estará mais acima ou abaixo da outra conforme o valor de .

Resposta

As curvas de nível para da função são quatro retas paralelas:
Essas retas podem ser representadas graficamente no plano como linhas paralelas inclinadas para baixo, cada uma deslocada verticalmente conforme os valores de .

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