Expresse a área da região limitada pelas curvas
em termos de integrais definidas. Em seguida calcule a área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
. Esse problema envolve cálculo de integrais definidas, então vamos usar conhecimentos de cálculo integral para achar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Para isso, vamos igualar as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 3
Vamos resolver a equação
:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Isso nos dá duas soluções:
Para encontrar os valores de
, substituímos de volta em
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar qual das duas funções está acima da outra no intervalo de
a
. Observando as equações:
Testando
:
Vemos que
está acima de
. Portanto, a área entre as curvas é dada por:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos
:
Depois, integramos
:
Agora, avaliamos de 5 a 10:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é aproximadamente
unidades de área.