Encontrar un conjunto de ecuaciones simétricas para la recta normal a la superficie dada por xyz = 4 en el punto P(2,-2,-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o conjunto de equações simétricas para a reta normal à superfície definida pela equação no ponto .
Para isso, vamos usar o conceito de vetor normal e gradiente da superfície. Vamos precisar conhecer derivadas parciais e como elas nos ajudam a encontrar a direção normal à superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a superfície que estamos lidando. A equação dada é . Para encontrar a reta normal, precisamos calcular o gradiente dessa função no ponto .
A função que representa a superfície é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente de . O gradiente é um vetor que aponta na direção da máxima taxa de variação da função e é normal à superfície.
As derivadas parciais de são:
Então, o gradiente é:

Passo 4

Vamos agora avaliar o gradiente no ponto .
Substituindo , e nas derivadas:
Portanto, o gradiente no ponto é:
Esse vetor será a direção da nossa reta normal.

Passo 5

Com o ponto e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas e depois as simétricas da reta normal.
As equações paramétricas são:
Para obter as equações simétricas, resolvemos cada equação paramétrica para e igualamos:

Resposta

As equações simétricas da reta normal à superfície no ponto são:

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