Encontrar un conjunto de ecuaciones simétricas para la recta normal a la superficie dada por
en el punto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o conjunto de equações simétricas para a reta normal à superfície definida pela equação
no ponto
.
Para isso, vamos usar o conceito de vetor normal e gradiente da superfície. Vamos precisar conhecer derivadas parciais e como elas nos ajudam a encontrar a direção normal à superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a superfície que estamos lidando. A equação dada é
. Para encontrar a reta normal, precisamos calcular o gradiente dessa função no ponto
.
A função que representa a superfície é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor que aponta na direção da máxima taxa de variação da função e é normal à superfície.
As derivadas parciais de
são:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Vamos agora avaliar o gradiente no ponto
.
Substituindo
,
e
nas derivadas:
Portanto, o gradiente no ponto
é:
Esse vetor será a direção da nossa reta normal.
Passo 5
Com o ponto
e o vetor direção
, podemos escrever as equações paramétricas e depois as simétricas da reta normal.
As equações paramétricas são:
Para obter as equações simétricas, resolvemos cada equação paramétrica para
e igualamos:
Resposta
As equações simétricas da reta normal à superfície
no ponto
são:
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en
con
Hallar la ecuación del plano tangente y de una recta normal al hiperboloide
en el punto
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo.
(i) .
(i)
Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa indicada.