Hallar la ecuación del plano tangente y de una recta normal al hiperboloide z^2 - 2x^2 - 2y^2 = 12 en el punto P(1, -1, 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente e a equação de uma reta normal ao hiperbolóide dado pela equação no ponto .
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies e planos tangentes, além de como encontrar vetores normais. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada parcial da função que representa o hiperbolóide em relação a cada uma das variáveis , e . Isso vai nos ajudar a encontrar o vetor normal à superfície no ponto .
A equação do hiperbolóide é:
Vamos reescrever isso como uma função . O gradiente dessa função nos dá o vetor normal à superfície.
Então, vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 3

Agora, substituímos as coordenadas do ponto nas derivadas parciais para encontrar as componentes do vetor normal no ponto.
Calculando:
Então, o vetor normal no ponto é:

Passo 4

Com o vetor normal conhecido, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto de tangência.
Substituindo os valores:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -4:
Então, a equação do plano tangente é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal à superfície no ponto . Para isso, usamos o vetor normal que já encontramos.
A equação paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
onde é o ponto e é o vetor diretor da reta.
Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação da reta normal é .

Exercícios relacionados

Para la función f(x, y) = x^2 * y * e^(x * y), calcular en el punto (1,1), la máxima derivada direccional y la derivada direccional en la dirección y sentido definidos por el vector i + j.
Hallar la derivada de la función f(x, y) = 2 x^2 - 3 y^2 en el punto (1,0) en la dirección que forma con el eje Ox un ángulos de +120 graus.
Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al vector dado. f(x, y) = x^y en e, e con v = 5i + 12j
Encontrar un conjunto de ecuaciones simétricas para la recta normal a la superficie dada por xyz = 4 en el punto P(2,-2,-3)