Hallar la ecuación del plano tangente y de una recta normal al hiperboloide
en el punto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente e a equação de uma reta normal ao hiperbolóide dado pela equação
no ponto
.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies e planos tangentes, além de como encontrar vetores normais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada parcial da função que representa o hiperbolóide em relação a cada uma das variáveis
,
e
. Isso vai nos ajudar a encontrar o vetor normal à superfície no ponto
.
A equação do hiperbolóide é:
Vamos reescrever isso como uma função
. O gradiente dessa função
nos dá o vetor normal à superfície.
Então, vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, substituímos as coordenadas do ponto
nas derivadas parciais para encontrar as componentes do vetor normal no ponto.
Calculando:
Então, o vetor normal
no ponto
é:
Passo 4
Com o vetor normal conhecido, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
onde
são as componentes do vetor normal e
são as coordenadas do ponto de tangência.
Substituindo os valores:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -4:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal à superfície no ponto
. Para isso, usamos o vetor normal
que já encontramos.
A equação paramétrica de uma reta no espaço é dada por:
onde
é o ponto e
é o vetor diretor da reta.
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente é
e a equação da reta normal é
.
Exercícios relacionados
Para la función
, calcular en el punto (1,1), la máxima derivada direccional y la derivada direccional en la dirección y sentido definidos por el vector
.
Hallar la derivada de la función
en el punto (1,0) en la dirección que forma con el eje Ox un ángulos de
.
Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al vector dado.
en
con
Encontrar un conjunto de ecuaciones simétricas para la recta normal a la superficie dada por
en el punto