Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al vector dado. en con
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular as derivadas direcionais da função no ponto ao longo de vetores unitários que são paralelos ao vetor dado . Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais, gradiente e como normalizar um vetor. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um certo ponto e direção é basicamente a taxa de variação da função nessa direção específica. Matematicamente, ela é calculada como o produto escalar do gradiente da função no ponto com o vetor unitário na direção desejada. Então, precisamos encontrar o gradiente de e também o vetor unitário na direção de .
Passo 3
Vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e :
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 4
Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :
Então, o gradiente é:
Passo 5
Agora, vamos normalizar o vetor para obter o vetor unitário na mesma direção. Para isso, usamos a fórmula:
Onde é o comprimento de :
Então,
Passo 6
Vamos agora avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e na expressão do gradiente:
Então,
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor unitário:
Fazendo o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é: