Suponha que
e defina
Vamos provar que
é um homomorfismo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um grupo
e um subgrupo normal
de
(escrito como
). A função
mapeia cada elemento
de
para a sua classe lateral
no grupo quociente
. O objetivo é provar que essa função
é um homomorfismo de grupos. Para isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo e como funciona a operação em grupos quocientes.
Passo 2
Vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos. Um homomorfismo é uma função entre dois grupos que preserva a operação do grupo. Ou seja, se temos uma função
, ela é um homomorfismo se, para todo
, vale que:
No nosso caso, queremos mostrar que
satisfaz essa propriedade.
Passo 3
Vamos calcular
. Pela definição de
, temos:
Isso significa que estamos mapeando o produto
para a sua classe lateral em
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Pela definição de
, temos:
No grupo quociente
, a operação é definida como a multiplicação das classes laterais. Portanto:
Passo 5
Vamos entender como funciona a multiplicação das classes laterais. Em
, multiplicamos as classes laterais multiplicando os representantes:
Isso porque
é normal em
, garantindo que a multiplicação seja bem definida.
Passo 6
Comparando os resultados, temos:
Ou seja:
Isso mostra que a função
preserva a operação de grupo.
Resposta
A função
é um homomorfismo porque para todo
, temos
.