Suponha que K unlh G e defina
G: G -> G / K, g -> g K
Vamos provar que pi é um homomorfismo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um grupo G e um subgrupo normal K de G (escrito como K unlh G). A função pi mapeia cada elemento g de G para a sua classe lateral no grupo quociente . O objetivo é provar que essa função pi é um homomorfismo de grupos. Para isso, vamos precisar entender o que é um homomorfismo e como funciona a operação em grupos quocientes.

Passo 2

Vamos lembrar o que é um homomorfismo de grupos. Um homomorfismo é uma função entre dois grupos que preserva a operação do grupo. Ou seja, se temos uma função , ela é um homomorfismo se, para todo , vale que:
No nosso caso, queremos mostrar que pi satisfaz essa propriedade.

Passo 3

Vamos calcular . Pela definição de pi, temos:
Isso significa que estamos mapeando o produto para a sua classe lateral em .

Passo 4

Agora, vamos calcular . Pela definição de pi, temos:
No grupo quociente , a operação é definida como a multiplicação das classes laterais. Portanto:

Passo 5

Vamos entender como funciona a multiplicação das classes laterais. Em , multiplicamos as classes laterais multiplicando os representantes:
Isso porque K é normal em G, garantindo que a multiplicação seja bem definida.

Passo 6

Comparando os resultados, temos:
Ou seja:
Isso mostra que a função pi preserva a operação de grupo.

Resposta

A função pi é um homomorfismo porque para todo , temos .

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