Encontre o ângulo entre os vetores A=imath+jmath+k e B=imath+jmath (Dica: Estes dois vetores definem uma diagonal do cubo e uma diagonal da face do cubo).

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar o ângulo entre dois vetores: A = imath + jmath + k e B = imath + jmath. Isso tudo está relacionado com o conteúdo de vetores e como calcular o ângulo entre eles. Pra resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do produto escalar (ou dot product) e as normas (ou módulos) dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre A e B. A fórmula do produto escalar é:
A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
No nosso caso, A = (1, 1, 1) e B = (1, 1, 0). Então:
A cdot B = (1)(1) + (1)(1) + (1)(0) = 1 + 1 + 0 = 2

Passo 3

Agora, precisamos calcular as normas (ou módulos) de cada vetor. A norma de um vetor V = (Vx, Vy, Vz) é dada por:
|V| = raizVx^2 + Vy^2 + Vz^2
Para A:
|A| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
E para B:
|B| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2

Passo 4

Com o produto escalar e as normas dos vetores calculados, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo theta entre eles:
cos theta = A cdot B|A| |B|
Substituindo os valores que encontramos:
cos theta = 2raiz3 times raiz2 = 2raiz6 = 2raiz66 = raiz63

Passo 5

Agora, para encontrar o ângulo theta, vamos tirar o arco cosseno:
theta = arccos(raiz63)
Calculando isso com uma calculadora, obtemos aproximadamente:
theta approx 35,26^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores A e B é aproximadamente 35,26^circ.

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