Dados os vetores que variam com o tempo . Encontre
e

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui! O enunciado nos apresenta dois vetores que mudam com o tempo:
  • A:
  • B:
Mas, para esse exercício, a gente só precisa focar no vetor A. O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada de A em relação ao tempo , ou seja, , e também descobrir o módulo dessa derivada, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Basicamente, estamos calculando a taxa de variação do vetor A ao longo do tempo. Para fazer isso, vamos derivar cada componente de A em relação a .

Passo 3

Vamos relembrar como derivar funções trigonométricas. Sabemos que:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, vamos derivar cada componente de A:
  • Derivada da componente em :
  • Derivada da componente em :

Passo 5

Juntando as duas derivadas, temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada, ou seja, . Lembrando que o módulo de um vetor é dado por:
No nosso caso, como não temos componente em , a fórmula fica:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão:
Sabemos que , então:

Resposta

A derivada de em relação ao tempo é:
E o módulo dessa derivada é:

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