Dados os vetores que variam com o tempo A=r cos omega t+jmath sen omega t e B=t r+t^2 jmath+t^3 k. Encontre
d A / d t e |d A / d t|

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que temos aqui! O enunciado nos apresenta dois vetores que mudam com o tempo:
  • A:
  • B:
Mas, para esse exercício, a gente só precisa focar no vetor A. O que a gente precisa fazer é encontrar a derivada de A em relação ao tempo , ou seja, , e também descobrir o módulo dessa derivada, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Basicamente, estamos calculando a taxa de variação do vetor A ao longo do tempo. Para fazer isso, vamos derivar cada componente de A em relação a .

Passo 3

Vamos relembrar como derivar funções trigonométricas. Sabemos que:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, vamos derivar cada componente de A:
  • Derivada da componente em :
  • Derivada da componente em :

Passo 5

Juntando as duas derivadas, temos:
dAdt = -omega sin(omega t) r + omega cos(omega t) jmath

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada, ou seja, |V| = raiza^2 + b^2 + c^2 . Lembrando que o módulo de um vetor |dAdt| = raiz(-omega sin(omega t))^2 + (omega cos(omega t))^2 é dado por:
No nosso caso, como não temos componente em , a fórmula fica:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão:
|dAdt| = raizomega^2 sin^2(omega t) + omega^2 cos^2(omega t) = raizomega^2 (sin^2(omega t) + cos^2(omega t))
Sabemos que |dAdt| = raizomega^2 cdot 1 = raizomega^2 = omega , então:

Resposta

A derivada de dAdt = -omega sin(omega t) r + omega cos(omega t) jmath em relação ao tempo é:
|dAdt| = omega
E o módulo dessa derivada é:

Exercícios relacionados