Encontre a matriz transformação para uma rotação de um ângulo theta em torno do eixo z seguida por uma rotação de um ângulo phi em torno do eixo y^prime.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra encontrar a matriz de transformação que primeiro faz uma rotação de um ângulo theta em torno do eixo z, e depois uma rotação de um ângulo phi em torno do eixo y'. Vamos usar álgebra linear e matrizes de rotação para isso. Precisamos das matrizes de rotação para cada eixo e depois multiplicá-las na ordem correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a matriz de rotação em torno do eixo z. Ela é dada por:
Rz(theta) = costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1
Essa matriz gira um ponto no espaço em torno do eixo z por um ângulo theta.

Passo 3

Agora, vamos considerar a rotação em torno do eixo y'. Após a primeira rotação em torno do z, o eixo y' é o novo eixo y resultante dessa rotação. A matriz de rotação em torno do eixo y é:
Ry(phi) = cosphi & 0 & sinphi 0 & 1 & 0 -sinphi & 0 & cosphi
Essa matriz gira um ponto no espaço em torno do eixo y por um ângulo phi.

Passo 4

Para achar a transformação total, precisamos multiplicar as duas matrizes de rotação na ordem em que elas ocorrem. Primeiro rotacionamos em torno do z e depois em torno do y', então a matriz de rotação total R é:
R = Ry(phi) cdot Rz(theta)

Passo 5

Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
R = cosphi & 0 & sinphi 0 & 1 & 0 -sinphi & 0 & cosphi cdot costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1
Realizando a multiplicação:
R = cosphi costheta & -cosphi sintheta & sinphi sintheta & costheta & 0 -sinphi costheta & sinphi sintheta & cosphi

Resposta

A matriz de transformação é:
R = cosphi costheta & -cosphi sintheta & sinphi sintheta & costheta & 0 -sinphi costheta & sinphi sintheta & cosphi

Exercícios relacionados