Encontre a matriz transformação para uma rotação de um ângulo em torno do eixo seguida por uma rotação de um ângulo em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra encontrar a matriz de transformação que primeiro faz uma rotação de um ângulo em torno do eixo , e depois uma rotação de um ângulo em torno do eixo . Vamos usar álgebra linear e matrizes de rotação para isso. Precisamos das matrizes de rotação para cada eixo e depois multiplicá-las na ordem correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a matriz de rotação em torno do eixo . Ela é dada por:
Essa matriz gira um ponto no espaço em torno do eixo por um ângulo .

Passo 3

Agora, vamos considerar a rotação em torno do eixo . Após a primeira rotação em torno do , o eixo é o novo eixo resultante dessa rotação. A matriz de rotação em torno do eixo é:
Essa matriz gira um ponto no espaço em torno do eixo por um ângulo .

Passo 4

Para achar a transformação total, precisamos multiplicar as duas matrizes de rotação na ordem em que elas ocorrem. Primeiro rotacionamos em torno do e depois em torno do , então a matriz de rotação total é:

Passo 5

Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
Realizando a multiplicação:

Resposta

A matriz de transformação é:

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