Encontre a matriz transformação para uma rotação de um ângulo em torno do eixo seguida por uma rotação de um ângulo em torno do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra encontrar a matriz de transformação que primeiro faz uma rotação de um ângulo em torno do eixo , e depois uma rotação de um ângulo em torno do eixo . Vamos usar álgebra linear e matrizes de rotação para isso. Precisamos das matrizes de rotação para cada eixo e depois multiplicá-las na ordem correta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a matriz de rotação em torno do eixo . Ela é dada por:
Essa matriz gira um ponto no espaço em torno do eixo z por um ângulo theta.
Passo 3
Agora, vamos considerar a rotação em torno do eixo y'. Após a primeira rotação em torno do z, o eixo y' é o novo eixo y resultante dessa rotação. A matriz de rotação em torno do eixo y é:
Essa matriz gira um ponto no espaço em torno do eixo y por um ângulo phi.
Passo 4
Para achar a transformação total, precisamos multiplicar as duas matrizes de rotação na ordem em que elas ocorrem. Primeiro rotacionamos em torno do z e depois em torno do y', então a matriz de rotação total R é: