Encontre a aproximação linear L(x) das funções numa vizinhança do ponto pedido: f(k) = k^2 / ln(k) em k = e^2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a aproximação linear da função perto do ponto . Isso envolve usar o conceito de aproximação linear, que é uma forma simples de estimar valores de uma função perto de um ponto específico usando uma reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aproximação linear de uma função no ponto é dada por:
Aqui, é o valor da função no ponto e é a derivada da função no ponto . Nosso objetivo é encontrar e para .

Passo 3

Vamos calcular , ou seja, :
Lembre que porque a função logarítmica natural de é 2.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada da função . Para isso, vamos usar a regra do quociente:
Simplificando, obtemos:

Passo 5

Agora, vamos calcular , ou seja, :
Aqui, usamos que .

Passo 6

Finalmente, substituímos e na fórmula da aproximação linear:

Resposta

A aproximação linear da função em é:

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