Seja
. Esboce o gráfico de
depois de (a) especificar o domínio da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e a tarefa é esboçar o gráfico dela. Primeiro, vamos especificar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de
que a função pode aceitar.
Passo 2
Como a função
é um polinômio, ela está definida para todos os números reais. Isso porque não tem nenhuma divisão por zero ou raiz de número negativo que possa restringir os valores de
. Então, o domínio é:
Passo 3
Agora que sabemos o domínio, vamos entender o comportamento da função para esboçar o gráfico. Primeiro, vamos analisar o grau do polinômio. Aqui, o maior expoente de
é 4, então é um polinômio de quarto grau.
Passo 4
Funções polinômicas de grau par, como essa, têm as mesmas direções nas duas extremidades do gráfico. Como o coeficiente de
é positivo, isso significa que o gráfico vai para cima tanto quando
vai para
quanto para
.
Passo 5
Vamos também encontrar os pontos críticos da função para entender onde ela sobe ou desce. Para isso, calculamos a derivada:
Vamos igualar a derivada a zero:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Com esses pontos críticos, podemos determinar que a função tem um mínimo local em
e outro em
. Calculando
e
:
Então, temos pontos importantes no gráfico: (0,10) e (3,-17).
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais, ou seja,
. Com base nisso e nas análises feitas, o gráfico da função possui um formato de “W” com pontos críticos em (0,10) e (3,-17), ascendendo para
nos dois lados.
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Justifique que
é diferenciável em todos os pontos de seu domínio, sendo:
Encontre a aproximação linear
das funções numa vizinhança do ponto pedido:
em
.
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