Seja f(x) = x^4 - 4 x^3 + 10. Esboce o gráfico de f(x) depois de (a) especificar o domínio da função

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e a tarefa é esboçar o gráfico dela. Primeiro, vamos especificar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de que a função pode aceitar.

Passo 2

Como a função é um polinômio, ela está definida para todos os números reais. Isso porque não tem nenhuma divisão por zero ou raiz de número negativo que possa restringir os valores de . Então, o domínio é:
í

Passo 3

Agora que sabemos o domínio, vamos entender o comportamento da função para esboçar o gráfico. Primeiro, vamos analisar o grau do polinômio. Aqui, o maior expoente de é 4, então é um polinômio de quarto grau.

Passo 4

Funções polinômicas de grau par, como essa, têm as mesmas direções nas duas extremidades do gráfico. Como o coeficiente de é positivo, isso significa que o gráfico vai para cima tanto quando vai para quanto para .

Passo 5

Vamos também encontrar os pontos críticos da função para entender onde ela sobe ou desce. Para isso, calculamos a derivada:
Vamos igualar a derivada a zero:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 6

Com esses pontos críticos, podemos determinar que a função tem um mínimo local em e outro em . Calculando e :
Então, temos pontos importantes no gráfico: (0,10) e (3,-17).

Resposta

O domínio da função é todos os números reais, ou seja, . Com base nisso e nas análises feitas, o gráfico da função possui um formato de “W” com pontos críticos em (0,10) e (3,-17), ascendendo para nos dois lados.

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