Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos: f(x, y) = L | x + 2xy + 1 |

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os pontos estacionários da função e depois classificá-los. Isso envolve calcular as derivadas parciais da função em relação a e , encontrar onde essas derivadas são iguais a zero (pontos estacionários) e, por fim, determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que envolve um valor absoluto, o que pode complicar um pouco a derivação. Vamos considerar duas situações: quando a expressão dentro do valor absoluto é positiva e quando é negativa.
Então, temos:
  1. Se , então .
  2. Se , então .
Vamos derivar em cada caso.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e para cada caso.
Caso 1:
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
Caso 2:
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Para encontrar os pontos estacionários, igualamos as derivadas parciais a zero em cada caso.
Caso 1:
Resolvendo:
Verificamos se satisfaz a condição inicial:
Então, temos um ponto estacionário em .
Caso 2:
Resolvendo:
Verificamos se satisfaz a condição inicial:
ã
Portanto, não há pontos estacionários neste caso.

Passo 5

Agora, vamos classificar o ponto estacionário encontrado: .
Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas.
A função, no caso , é diferenciável nesse ponto.
Calculando as segundas derivadas:
Formamos a matriz Hessiana:
Calculamos o determinante de :
Como o determinante é negativo ( ), o ponto é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto estacionário da função é , e ele é um ponto de sela.

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