Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos os pontos estacionários da função
e depois classificá-los. Isso envolve calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, encontrar onde essas derivadas são iguais a zero (pontos estacionários) e, por fim, determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que
envolve um valor absoluto, o que pode complicar um pouco a derivação. Vamos considerar duas situações: quando a expressão dentro do valor absoluto é positiva e quando é negativa.
Então, temos:
- Se
, então . - Se
, então .
Vamos derivar em cada caso.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
para cada caso.
Caso 1:
- Derivada parcial em relação a
: - Derivada parcial em relação a
:
Caso 2:
- Derivada parcial em relação a
: - Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Para encontrar os pontos estacionários, igualamos as derivadas parciais a zero em cada caso.
Caso 1:
Resolvendo:
Verificamos se satisfaz a condição inicial:
Então, temos um ponto estacionário em
.
Caso 2:
Resolvendo:
Verificamos se satisfaz a condição inicial:
Portanto, não há pontos estacionários neste caso.
Passo 5
Agora, vamos classificar o ponto estacionário encontrado:
.
Para isso, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas.
A função, no caso
, é diferenciável nesse ponto.
Calculando as segundas derivadas:
Formamos a matriz Hessiana:
Calculamos o determinante de
:
Como o determinante é negativo (
), o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto estacionário da função
é
, e ele é um ponto de sela.
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Encontre a aproximação linear
das funções numa vizinhança do ponto pedido:
em
.
Seja
. Esboce o gráfico de
depois de (a) especificar o domínio da função
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Seja
. Esboce o gráfico de
depois de (a) especificar o domínio da função