Exercício 5. (a) Suponha que um dado elemento radioativo
se decomponha em um segundo elemento radioativo
, e que
por sua vez se decomponha em um terceiro elemento
. Se a quantidade inicial de
presente é
, se as quantidades de
e
presentes em um tempo posterior t são x e
, respectivamente, e se
e
são as constantes de taxa dessas duas reações, encontre y como função do tempo
.
(b) Radônio (com uma meia-vida de 3,8 dias) é um gás intensamente radioativo produzido como o produto imediato da decomposição do rádio (com uma meia-vida de 1600 anos). A atmosfera contém traços de radônio próximo ao solo como resultado de infiltração do solo e rochas, todas contendo pequenas quantidades de rádio. Há preocupação em algumas partes do oeste dos Estados Unidos sobre possíveis acúmulos perigosos de radônio em porões de casas cujas fundações de concreto e solo circundante contenham quantidades apreciáveis de rádio, devido à mineração de urânio nas proximidades. Se as constantes de taxa (perdas fracionárias por unidade de tempo, em anos) para a decomposição de rádio e radônio são
e
, use o resultado da parte (a) para determinar quanto tempo após a conclusão de um porão a quantidade de radônio estará no máximo.
Atualizado em: 4 de setembro de 2024
(b) Radônio (com uma meia-vida de 3,8 dias) é um gás intensamente radioativo produzido como o produto imediato da decomposição do rádio (com uma meia-vida de 1600 anos). A atmosfera contém traços de radônio próximo ao solo como resultado de infiltração do solo e rochas, todas contendo pequenas quantidades de rádio. Há preocupação em algumas partes do oeste dos Estados Unidos sobre possíveis acúmulos perigosos de radônio em porões de casas cujas fundações de concreto e solo circundante contenham quantidades apreciáveis de rádio, devido à mineração de urânio nas proximidades. Se as constantes de taxa (perdas fracionárias por unidade de tempo, em anos) para a decomposição de rádio e radônio são
Atualizado em: 4 de setembro de 2024
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre decaimento radioativo, que é quando um elemento se transforma em outro ao longo do tempo. Aqui, temos três elementos: A se transforma em B, e B se transforma em C. Precisamos descobrir como a quantidade de B (y) varia com o tempo (t). Para isso, vamos usar as constantes de taxa de decaimento
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações básicas do decaimento radioativo. A quantidade de A ao longo do tempo é dada por:
Onde:
-
é a quantidade inicial de A. -
é a constante de decaimento de A.
Passo 3
Agora, para encontrar a quantidade de B (
), precisamos considerar que B é produzido pela decomposição de A e, ao mesmo tempo, B está se decompondo para formar C. Isso cria uma equação diferencial:
Substituindo
:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante. O fator integrante
é:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a t:
Onde C é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo a integral:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Aplicando a condição inicial
(assumindo que inicialmente não há B):
Então:
Passo 10
Substituindo C de volta na equação de
:
Resposta
A quantidade de B em função do tempo é:
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