Exercício 5. (a) Suponha que um dado elemento radioativo se decomponha em um segundo elemento radioativo , e que por sua vez se decomponha em um terceiro elemento . Se a quantidade inicial de presente é , se as quantidades de e presentes em um tempo posterior t são x e , respectivamente, e se e são as constantes de taxa dessas duas reações, encontre y como função do tempo .
(b) Radônio (com uma meia-vida de 3,8 dias) é um gás intensamente radioativo produzido como o produto imediato da decomposição do rádio (com uma meia-vida de 1600 anos). A atmosfera contém traços de radônio próximo ao solo como resultado de infiltração do solo e rochas, todas contendo pequenas quantidades de rádio. Há preocupação em algumas partes do oeste dos Estados Unidos sobre possíveis acúmulos perigosos de radônio em porões de casas cujas fundações de concreto e solo circundante contenham quantidades apreciáveis de rádio, devido à mineração de urânio nas proximidades. Se as constantes de taxa (perdas fracionárias por unidade de tempo, em anos) para a decomposição de rádio e radônio são e , use o resultado da parte (a) para determinar quanto tempo após a conclusão de um porão a quantidade de radônio estará no máximo.
Atualizado em: 4 de setembro de 2024

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre decaimento radioativo, que é quando um elemento se transforma em outro ao longo do tempo. Aqui, temos três elementos: A se transforma em B, e B se transforma em C. Precisamos descobrir como a quantidade de B (y) varia com o tempo (t). Para isso, vamos usar as constantes de taxa de decaimento e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações básicas do decaimento radioativo. A quantidade de A ao longo do tempo é dada por:
Onde:
  • é a quantidade inicial de A.
  • é a constante de decaimento de A.

Passo 3

Agora, para encontrar a quantidade de B ( ), precisamos considerar que B é produzido pela decomposição de A e, ao mesmo tempo, B está se decompondo para formar C. Isso cria uma equação diferencial:
Substituindo :

Passo 4

Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante. O fator integrante é:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a t:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo a integral:

Passo 8

Dividindo ambos os lados por :

Passo 9

Aplicando a condição inicial (assumindo que inicialmente não há B):
Então:

Passo 10

Substituindo C de volta na equação de :

Resposta

A quantidade de B em função do tempo é:

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