Encontre a área da região envolvida pela curva
os eixos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o que a gente precisa entender é o que o exercício está pedindo. A questão diz para encontrar a área da região delimitada pela curva
e pelos eixos coordenados. Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo integral, especificamente integração para calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da curva para facilitar a integração. Queremos expressar
em função de
:
Isolando
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 3
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Então, a função
que vamos integrar é:
Passo 4
Para encontrar a área sob a curva e acima dos eixos, vamos integrar
em relação a
desde
até
:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos substituir os limites de integração:
Para
:
Para
, todos os termos serão zero.
Passo 7
Calculando a expressão para
:
Resposta
A área da região é
.
Exercícios relacionados
Encontre a área da região englobada pela curva
e
,
.
Resolva os seguintes exercícios :
Calcule a taxa máxima de variação de no ponto (1,0). Calcule depois no mesmo ponto a derivada direcional na direşão indicada pelo angulo
Calcule a taxa máxima de variação de
Marque o ponto cujas coordenadas polares são dadas. A seguir encontre as coordenadas cartesianas do ponto.
(a)
(a)
Esboce a curva com a equação dada.