Encontre a área da região envolvida pela curva x^(1/2) + y^(1/2) = a^(1/2) e os eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o que a gente precisa entender é o que o exercício está pedindo. A questão diz para encontrar a área da região delimitada pela curva e pelos eixos coordenados. Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo integral, especificamente integração para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da curva para facilitar a integração. Queremos expressar em função de :
Isolando :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Então, a função que vamos integrar é:

Passo 4

Para encontrar a área sob a curva e acima dos eixos, vamos integrar em relação a desde até :

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos substituir os limites de integração:
Para :
Para , todos os termos serão zero.

Passo 7

Calculando a expressão para :

Resposta

A área da região é .

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