Encontre a área da região envolvida pela curva x^(1/2) + y^(1/2) = a^(1/2) e os eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o que a gente precisa entender é o que o exercício está pedindo. A questão diz para encontrar a área da região delimitada pela curva e pelos eixos coordenados. Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo integral, especificamente integração para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da curva para facilitar a integração. Queremos expressar em função de :
Isolando :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 3

Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Então, a função que vamos integrar é:

Passo 4

Para encontrar a área sob a curva e acima dos eixos, vamos integrar em relação a desde até :

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos substituir os limites de integração:
Para :
Para , todos os termos serão zero.

Passo 7

Calculando a expressão para :

Resposta

A área da região é .

Exercícios relacionados

Encontre a área da região englobada pela curva y = x e y = 4 x, y = -x + 2.
Resolva os seguintes exercícios :
Calcule a taxa máxima de variação de f(x, y) = sen(x y) no ponto (1,0). Calcule depois no mesmo ponto a derivada direcional na direşão indicada pelo angulo theta = pi / 4
Marque o ponto cujas coordenadas polares são dadas. A seguir encontre as coordenadas cartesianas do ponto.
(a) (2, pi / 3)
Esboce a curva com a equação dada.
  • theta = -pi / 6
  • r^2 - 3r + 2 = 0
  • r = sen(θ)