Encontre a área da região englobada pela curva y = x e y = 4 x, y = -x + 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região que está dentro das curvas , e . Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como encontrar pontos de interseção e calcular áreas de polígonos.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção entre elas. Vamos resolver isso parelhando as equações duas a duas.

Passo 3

Encontrando a interseção entre e :
Substituindo em :
Então, o primeiro ponto de interseção é .

Passo 4

Encontrando a interseção entre e :
Substituindo em :
Então, o segundo ponto de interseção é .

Passo 5

Encontrando a interseção entre e :
Substituindo em :
Então, o terceiro ponto de interseção é .

Passo 6

Agora que temos os três pontos de interseção: , e , podemos visualizar que eles formam um triângulo. Para encontrar a área desse triângulo, vamos usar a fórmula de área pelo determinante (fórmula de Shoelace).

Passo 7

A fórmula de Shoelace para três pontos , e é:
Á
Vamos aplicar isso com nossos pontos.

Passo 8

Substituindo os valores:
Á

Resposta

A área da região englobada pelas curvas é unidades de área.

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