Encontre a área da região englobada pela curva y = x e y = 4 x, y = -x + 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região que está dentro das curvas , e . Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como encontrar pontos de interseção e calcular áreas de polígonos.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção entre elas. Vamos resolver isso parelhando as equações duas a duas.

Passo 3

Encontrando a interseção entre e :
Substituindo em :
Então, o primeiro ponto de interseção é .

Passo 4

Encontrando a interseção entre e :
Substituindo em :
Então, o segundo ponto de interseção é .

Passo 5

Encontrando a interseção entre e :
Substituindo em :
Então, o terceiro ponto de interseção é .

Passo 6

Agora que temos os três pontos de interseção: , e , podemos visualizar que eles formam um triângulo. Para encontrar a área desse triângulo, vamos usar a fórmula de área pelo determinante (fórmula de Shoelace).

Passo 7

A fórmula de Shoelace para três pontos , e é:
Á
Vamos aplicar isso com nossos pontos.

Passo 8

Substituindo os valores:
Á

Resposta

A área da região englobada pelas curvas é unidades de área.

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Resolva os seguintes exercícios :
Calcule a taxa máxima de variação de f(x, y) = sen(x y) no ponto (1,0). Calcule depois no mesmo ponto a derivada direcional na direşão indicada pelo angulo theta = pi / 4
Determine se cada uma das seguintes funções é solução da equação de Laplace u_xz + u_ny = 0
u = e^(-x) cos(y) - e^(-y) cos(x)
Encontre a área da região envolvida pela curva x^(1/2) + y^(1/2) = a^(1/2) e os eixos coordenados.
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(a) (2, pi / 3)