Encontre a área da região englobada pela curva e , .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região que está dentro das curvas , e . Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria analítica, como encontrar pontos de interseção e calcular áreas de polígonos.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas curvas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção entre elas. Vamos resolver isso parelhando as equações duas a duas.
Passo 3
Encontrando a interseção entre e :
Substituindo em :
Então, o primeiro ponto de interseção é .
Passo 4
Encontrando a interseção entre e :
Substituindo em :
Então, o segundo ponto de interseção é .
Passo 5
Encontrando a interseção entre e :
Substituindo em :
Então, o terceiro ponto de interseção é .
Passo 6
Agora que temos os três pontos de interseção: , e , podemos visualizar que eles formam um triângulo. Para encontrar a área desse triângulo, vamos usar a fórmula de área pelo determinante (fórmula de Shoelace).
Passo 7
A fórmula de Shoelace para três pontos , e é:
Vamos aplicar isso com nossos pontos.
Passo 8
Substituindo os valores:
Resposta
A área da região englobada pelas curvas é unidades de área.