Resolva os seguintes exercícios :
Calcule a taxa máxima de variação de f(x, y) = sen(x y) no ponto (1,0). Calcule depois no mesmo ponto a derivada direcional na direşão indicada pelo angulo theta = pi / 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas coisas para a função no ponto :
  1. A taxa máxima de variação dessa função nesse ponto.
  2. A derivada direcional na direção de um ângulo de .
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como o gradiente da função e a definição de derivada direcional. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente de no ponto . O gradiente é um vetor que mostra a direção de maior aumento da função e sua magnitude é exatamente a taxa máxima de variação.
Para calcular o gradiente, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :
Então, o gradiente de em é:

Passo 3

Agora que temos o gradiente, podemos encontrar a taxa máxima de variação da função no ponto . Essa taxa é igual à magnitude do vetor gradiente.
Calculando a magnitude:
Portanto, a taxa máxima de variação de no ponto é 1.

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada direcional na direção do ângulo .
A derivada direcional na direção de um vetor unitário é dada pelo produto escalar entre o gradiente e :
Primeiro, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de . As componentes desse vetor são:
Agora, fazemos o produto escalar com o gradiente:

Resposta

  • Taxa máxima de variação de no ponto é .
  • Derivada direcional na direção de no mesmo ponto é .

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