Resolva os seguintes exercícios :
Calcule a taxa máxima de variação de
no ponto (1,0). Calcule depois no mesmo ponto a derivada direcional na direşão indicada pelo angulo
Calcule a taxa máxima de variação de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas coisas para a função
no ponto
:
- A taxa máxima de variação dessa função nesse ponto.
- A derivada direcional na direção de um ângulo de
.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como o gradiente da função e a definição de derivada direcional. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente de
no ponto
. O gradiente é um vetor que mostra a direção de maior aumento da função e sua magnitude é exatamente a taxa máxima de variação.
Para calcular o gradiente, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Então, o gradiente de
em
é:
Passo 3
Agora que temos o gradiente, podemos encontrar a taxa máxima de variação da função no ponto
. Essa taxa é igual à magnitude do vetor gradiente.
Calculando a magnitude:
Portanto, a taxa máxima de variação de
no ponto
é 1.
Passo 4
Agora vamos calcular a derivada direcional na direção do ângulo
.
A derivada direcional
na direção de um vetor unitário
é dada pelo produto escalar entre o gradiente e
:
Primeiro, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de
. As componentes desse vetor são:
Agora, fazemos o produto escalar com o gradiente:
Resposta
- Taxa máxima de variação de
no ponto é . - Derivada direcional na direção de
no mesmo ponto é .
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e
,
.
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