Encontre uma base de que contém os vetores e .

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar uma base para o espaço que inclua os vetores e . Isso envolve entender o que é uma base, que são vetores que são lineares e que “geram” todo o espaço. Aqui, vamos precisar verificar se esses vetores são independentes e, se sim, encontrar mais dois vetores que, juntos com eles, formem uma base completa para .

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se os vetores e são linearmente independentes. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Para isso, vamos ver se existe um número tal que .
Comparando as componentes:
ãéí
Já vimos que não existe um válido para todas as componentes, então e são linearmente independentes.

Passo 3

Agora que sabemos que e são independentes, precisamos achar mais dois vetores que não estejam no “universo” criado por e . Ou seja, queremos vetores que não possam ser escritos como combinações lineares de e . Vamos escolher vetores que tenham componentes diferentes para garantir essa independência.
Vamos tentar com:
Esses vetores são escolhidos de forma que suas posições únicas (não-zero) não coincidam com as de e , facilitando a independência.

Passo 4

Vamos verificar se os quatro vetores , , e são lineares independentes. Para isso, montamos uma matriz com eles e verificamos se o determinante é diferente de zero (indicando independência).
Calculando o determinante dessa matriz, vemos que ele é diferente de zero, o que confirma que os vetores são independentes.

Resposta

Uma base para que inclui os vetores e é:

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Seja V o conjunto dos vetores geométricos do espaço. Sendo um vetor fixo desse espaço, mostre que é um subespaço vetorial de
Seja uma transformação linear.
(b) Considere a seguinte afirmação sobre : se é LI então é LI. Qual a hipótese necessária para que essa afirmação seja verdadeira? Justifique.
Determine a matriz canônica da transformação linear que leva o plano no plano e tem como núcleo a reta . A transformação é injetora? é sobrejetora? Justifique.