Determine a matriz canônica da transformação linear que leva o plano no plano e tem como núcleo a reta . A transformação é injetora? é sobrejetora? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz canônica de uma transformação linear que faz duas coisas:
Leva o plano para o plano .
Tem como núcleo a reta .
Além disso, vamos verificar se essa transformação é injeção e sobrejeção. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, matrizes, núcleo (kernel) e imagem (imagem) de uma transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz canônica de uma transformação linear é a matriz que representa a transformação em relação às bases canônicas de . Ou seja, precisamos encontrar uma matriz tal que para qualquer vetor em .
Passo 3
Sabemos que o núcleo de é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor nulo. No caso, o núcleo é a reta , o que nos dá uma condiç��o sobre a matriz . Especificamente, qualquer vetor na reta deve satisfazer .
Passo 4
Vamos expressar a condição do núcleo matematicamente. Seja , então:
Isso significa que a soma das duas primeiras colunas de deve ser o vetor nulo, já que tem 0 na terceira coordenada.
Passo 5
Agora, vamos considerar a ação de nos planos dados. A transformação leva o plano para . Isso nos dá informações sobre como os vetores nesses planos são mapeados por .
Passo 6
Para facilitar, vamos encontrar uma base para e ver para onde mapeia esses vetores. O plano pode ser parametrizado como:
Então, uma base para pode ser:
Passo 7
Como leva para , os vetores e devem estar em . Ou seja, para cada um deles, a soma da segunda e terceira coordenada deve ser zero.
Passo 8
Vamos supor que e , onde e são escalares que ainda vamos determinar. Isso garante que a imagem está no plano .
Passo 9
Agora, vamos montar a matriz usando as informações que temos. Sabemos que as colunas de são as imagens dos vetores da base canônica:
Sabemos que (do passo 4), então .
Passo 10
Considerando que leva para , podemos escolher e . Resta determinar .
Passo 11
Para encontrar , observamos que qualquer vetor no núcleo deve ser mapeado para zero. Porém, como não faz parte do núcleo diretamente, precisamos usar a condição de que leva para . Podemos escolher para simplificar.
Passo 12
Com isso, a matriz fica:
Passo 13
Agora, vamos verificar se é injetora e sobrejetora.
Para ser injeção, o núcleo de deve conter apenas o vetor nulo. Porém, sabemos que o núcleo é a reta , que contém infinitos vetores além do nulo. Portanto, não é injetora.
Para ser sobrejeção, a imagem de deve ser todo o espaço . Porém, a imagem está contida no plano , que é um subconjunto de . Portanto, não é sobrejetora.