Seja
uma transformação linear.
(b) Considere a seguinte afirmação sobre
: se
é LI então
é LI. Qual a hipótese necessária para que essa afirmação seja verdadeira? Justifique.
(b) Considere a seguinte afirmação sobre
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma transformação linear
. A afirmação em questão diz: “Se
é linearmente independente (LI), então
também é LI.” Nosso objetivo é descobrir qual condição precisa ser verdadeira para que essa afirmação seja correta. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, independência linear e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação linear
satisfaz duas propriedades:
- Aditividade:
para quaisquer vetores . - Homogeneidade:
para qualquer escalar .
Essas propriedades garantem que a estrutura linear dos vetores é preservada pela transformação
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente (LI). Um conjunto de vetores
é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se
implica que
.
Passo 4
Queremos que, se
é LI, então
também seja LI. Para isso, precisamos garantir que a transformação
não “comprime” vetores de forma a criar dependência linear.
Passo 5
Uma condição importante para que isso aconteça é que a transformação
seja injeção. Isso significa que se
, então
. Em termos práticos, uma transformação linear é injetora se e somente se seu núcleo contém apenas o vetor zero, ou seja,
.
Passo 6
Por que a injeção é a hipótese necessária? Se
é injetora, então a única solução para
é
. Isso garante que a imagem dos vetores
não cria dependência linear, mantendo a independência original.
Resposta
A hipótese necessária é que a transformação linear
seja injetora, ou seja, que seu núcleo contenha apenas o vetor zero (
). Isso garante que a imagem de um conjunto de vetores linearmente independentes também seja linearmente independente.
Exercícios relacionados
Encontre uma base de
que contém os vetores
e
.
Determine a matriz canônica da transformação linear
que leva o plano
no plano
e tem como núcleo a reta
. A transformação
é injetora?
é sobrejetora? Justifique.
Seja
uma transformação linear injetora entre subespaços vetoriais de dimensão finita e seja
um subespaço não nulo. Prove que:
(a) .
(a)