Seja uma transformação linear.
(b) Considere a seguinte afirmação sobre : se é LI então é LI. Qual a hipótese necessária para que essa afirmação seja verdadeira? Justifique.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Temos uma transformação linear . A afirmação em questão diz: “Se é linearmente independente (LI), então também é LI.” Nosso objetivo é descobrir qual condição precisa ser verdadeira para que essa afirmação seja correta. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformação linear, independência linear e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear. Uma transformação linear satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar .
Essas propriedades garantem que a estrutura linear dos vetores é preservada pela transformação .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente (LI). Um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se
implica que .

Passo 4

Queremos que, se é LI, então também seja LI. Para isso, precisamos garantir que a transformação não “comprime” vetores de forma a criar dependência linear.

Passo 5

Uma condição importante para que isso aconteça é que a transformação seja injeção. Isso significa que se , então . Em termos práticos, uma transformação linear é injetora se e somente se seu núcleo contém apenas o vetor zero, ou seja, .

Passo 6

Por que a injeção é a hipótese necessária? Se é injetora, então a única solução para é . Isso garante que a imagem dos vetores não cria dependência linear, mantendo a independência original.

Resposta

A hipótese necessária é que a transformação linear seja injetora, ou seja, que seu núcleo contenha apenas o vetor zero ( ). Isso garante que a imagem de um conjunto de vetores linearmente independentes também seja linearmente independente.

Exercícios relacionados

Encontre uma base de que contém os vetores e .
Determine a matriz canônica da transformação linear que leva o plano no plano e tem como núcleo a reta . A transformação é injetora? é sobrejetora? Justifique.
Seja uma transformação linear injetora entre subespaços vetoriais de dimensão finita e seja um subespaço não nulo. Prove que:
(a) .