Seja V o conjunto dos vetores geométricos do espaço. Sendo um vetor fixo desse espaço, mostre que é um subespaço vetorial de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto é um subespaço vetorial do espaço dos vetores geométricos. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar se satisfaz os três critérios que definem um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado em relação à soma vetorial e ser fechado em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . Isso significa encontrar se existe um escalar tal que . Se escolhermos , então , que é o vetor zero. Então, contém o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos ver se é fechado em relação à soma de vetores. Vamos pegar dois vetores quaisquer em , digamos e . A soma deles é:
Como é um número real, o resultado pertence a . Então, �� fechado sob a soma vetorial.

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado em relação à multiplicação por escalar. Pegue um vetor qualquer em , seja , e multiplique por um escalar :
Como também é um número real, o resultado está em . Assim, é fechado sob a multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob a soma vetorial e sob a multiplicação por escalar, concluímos que é, de fato, um subespaço vetorial de .

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Sejam e bases do tais que e .
(b) Encontre , se .
Seja uma transformação linear. Dizemos que um subespaço vetorial é invariante por se . Mostre que um subespaço de de dimensão 1 é invariante por se, e somente se, existe tal que .
Encontre uma base de que contém os vetores e .