Seja V o conjunto dos vetores geométricos do espaço. Sendo
um vetor fixo desse espaço, mostre que
é um subespaço vetorial de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço
dos vetores geométricos. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar verificar se
satisfaz os três critérios que definem um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado em relação à soma vetorial e ser fechado em relação à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. Isso significa encontrar se existe um escalar
tal que
. Se escolhermos
, então
, que é o vetor zero. Então,
contém o vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado em relação à soma de vetores. Vamos pegar dois vetores quaisquer em
, digamos
e
. A soma deles é:
Como
é um número real, o resultado pertence a
. Então,
�� fechado sob a soma vetorial.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado em relação à multiplicação por escalar. Pegue um vetor qualquer em
, seja
, e multiplique por um escalar
:
Como
também é um número real, o resultado está em
. Assim,
é fechado sob a multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob a soma vetorial e sob a multiplicação por escalar, concluímos que
é, de fato, um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
bases do
tais que
e
.
(b) Encontre , se
.
(b) Encontre
Seja
uma transformação linear. Dizemos que um subespaço vetorial
é invariante por
se
. Mostre que um subespaço de
de dimensão 1 é invariante por
se, e somente se, existe
tal que
.
Encontre uma base de
que contém os vetores
e
.