A matriz
A=[ccc1 & -2 & -4 -2 & -1 & 2 3 & 0 & -5]
é a matriz dos coeficientes dos sistemas A x=b1 e A x=b2 em que x=[cx y z], b1=[c5 -7 -8] e b2=[c-1 0 2]. Use a matriz
inversa dos coeficientes para resolver ambos sistemas. A soma dos valores de x, y e z para os dois sistemas são respectivamente iguais a:

Escolha uma opção:

a. 5 e-2
-b. -2 / 5 e 18
c. -1 / 2 e 3
  • d. 139 e-18
    e. -3 / 7 e 1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que representa os coeficientes de dois sistemas lineares diferentes: e . Nosso objetivo é resolver esses dois sistemas usando a matriz inversa de e, depois, somar os valores de , e para cada sistema. Para isso, vamos precisar calcular a matriz inversa de e multiplicá-la pelos vetores e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) . A matriz inversa é aquela que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade. Para calcular , podemos usar a fórmula:
Onde é o determinante de e é a matriz adjunta de .

Passo 3

Vamos calcular o determinante de det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg) . Para uma matriz 3x3:
A = 1 & -2 & -4 -2 & -1 & 2 3 & 0 & -5
Para nossa matriz det(A) = 1 cdot [(-1)(-5) - 2 cdot 0] - (-2) cdot [(-2)(-5) - 2 cdot 3] + (-4) cdot [(-2)(0) - (-1) cdot 3] :
det(A) = 1 cdot (5 - 0) - (-2) cdot (10 - 6) + (-4) cdot (0 + 3)
Calculando o determinante:
det(A) = 5 + 8 - 12 = 1
Então, .

Passo 4

Agora que sabemos que , a inversa de será simplesmente a matriz adjunta porque estamos dividindo por 1.
Para encontrar , precisamos calcular a matriz dos cofatores de e depois transpor essa matriz.

Passo 5

Calculando os cofatores:
Para cada elemento Cij = (-1)^i+j cdot Mij de -1 & 2 0 & -5 , o cofator -2 & 2 3 & -5 é dado por:
-2 & -1 3 & 0
Onde -2 & -4 0 & -5 é o menor complementar do elemento 1 & -4 3 & -5 .
Vamos calcular cada cofator:
  • 1 & -2 3 & 0
  • -2 & -4 -1 & 2
  • 1 & -4 -2 & 2
  • 1 & -2 -2 & -1

Passo 6

Agora, temos a matriz dos cofatores:
Cof(A) = 5 & -4 & 3 -10 & 7 & -6 -8 & 6 & -5
A matriz adjunta adj(A) = 5 & -10 & -8 -4 & 7 & 6 3 & -6 & -5 é a transposta dessa matriz:

Passo 7

Então, a matriz inversa A^-1 = adj(A) = 5 & -10 & -8 -4 & 7 & 6 3 & -6 & -5 é:

Passo 8

Agora vamos resolver os sistemas x = A^-1 b e 5 -7 -8 usando a inversa:
x1 = 5 cdot 5 + (-10) cdot (-7) + (-8) cdot (-8) = 25 + 70 + 64 = 159
Primeiro, para y1 = -4 cdot 5 + 7 cdot (-7) + 6 cdot (-8) = -20 - 49 - 48 = -117 :
z1 = 3 cdot 5 + (-6) cdot (-7) + (-5) cdot (-8) = 15 + 42 + 40 = 97
Então, a solução para o primeiro sistema é , , .

Passo 9

Agora, para -1 0 2 :
x2 = 5 cdot (-1) + (-10) cdot 0 + (-8) cdot 2 = -5 + 0 - 16 = -21
y2 = -4 cdot (-1) + 7 cdot 0 + 6 cdot 2 = 4 + 0 + 12 = 16
z2 = 3 cdot (-1) + (-6) cdot 0 + (-5) cdot 2 = -3 + 0 - 10 = -13
Então, a solução para o segundo sistema é , , .

Passo 10

Agora, vamos somar 159 + (-117) + 97 = 159 - 117 + 97 = 139 para cada sistema:
Para o primeiro sistema:
-21 + 16 + (-13) = -21 + 16 - 13 = -18
Para o segundo sistema:

Resposta

A soma dos valores de e para os dois sistemas são respectivamente iguais a e . Portanto, a opção correta é a d. e .

Exercícios relacionados