A matriz
é a matriz dos coeficientes dos sistemas e em que e . Use a matriz
inversa dos coeficientes para resolver ambos sistemas. A soma dos valores de e para os dois sistemas são respectivamente iguais a:
Escolha uma opção:
a.
-b. e 18
c. e 3
d.
e. e 1
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que representa os coeficientes de dois sistemas lineares diferentes: e . Nosso objetivo é resolver esses dois sistemas usando a matriz inversa de e, depois, somar os valores de , e para cada sistema. Para isso, vamos precisar calcular a matriz inversa de e multiplicá-la pelos vetores e .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz inversa de . A matriz inversa é aquela que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade. Para calcular , podemos usar a fórmula:
Onde é o determinante de e é a matriz adjunta de .
Passo 3
Vamos calcular o determinante de . Para uma matriz 3x3:
Para nossa matriz :
Calculando o determinante:
Então, .
Passo 4
Agora que sabemos que , a inversa de será simplesmente a matriz adjunta porque estamos dividindo por 1.
Para encontrar , precisamos calcular a matriz dos cofatores de e depois transpor essa matriz.
Passo 5
Calculando os cofatores:
Para cada elemento de , o cofator é dado por:
Onde é o menor complementar do elemento .
Vamos calcular cada cofator:
Passo 6
Agora, temos a matriz dos cofatores:
A matriz adjunta é a transposta dessa matriz:
Passo 7
Então, a matriz inversa é:
Passo 8
Agora vamos resolver os sistemas e usando a inversa:
Primeiro, para :
Então, a solução para o primeiro sistema é , , .
Passo 9
Agora, para :
Então, a solução para o segundo sistema é , , .
Passo 10
Agora, vamos somar para cada sistema:
Para o primeiro sistema:
Para o segundo sistema:
Resposta
A soma dos valores de e para os dois sistemas são respectivamente iguais a e . Portanto, a opção correta é a d. e .