A matriz

é a matriz dos coeficientes dos sistemas e em que e . Use a matriz
inversa dos coeficientes para resolver ambos sistemas. A soma dos valores de e para os dois sistemas são respectivamente iguais a:

Escolha uma opção:

a.
-b. e 18
c. e 3
  • d.
    e. e 1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma matriz que representa os coeficientes de dois sistemas lineares diferentes: e . Nosso objetivo é resolver esses dois sistemas usando a matriz inversa de e, depois, somar os valores de , e para cada sistema. Para isso, vamos precisar calcular a matriz inversa de e multiplicá-la pelos vetores e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz inversa de . A matriz inversa é aquela que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade. Para calcular , podemos usar a fórmula:
Onde é o determinante de e é a matriz adjunta de .

Passo 3

Vamos calcular o determinante de . Para uma matriz 3x3:
Para nossa matriz :
Calculando o determinante:
Então, .

Passo 4

Agora que sabemos que , a inversa de será simplesmente a matriz adjunta porque estamos dividindo por 1.
Para encontrar , precisamos calcular a matriz dos cofatores de e depois transpor essa matriz.

Passo 5

Calculando os cofatores:
Para cada elemento de , o cofator é dado por:
Onde é o menor complementar do elemento .
Vamos calcular cada cofator:

Passo 6

Agora, temos a matriz dos cofatores:
A matriz adjunta é a transposta dessa matriz:

Passo 7

Então, a matriz inversa é:

Passo 8

Agora vamos resolver os sistemas e usando a inversa:
Primeiro, para :
Então, a solução para o primeiro sistema é , , .

Passo 9

Agora, para :
Então, a solução para o segundo sistema é , , .

Passo 10

Agora, vamos somar para cada sistema:
Para o primeiro sistema:
Para o segundo sistema:

Resposta

A soma dos valores de e para os dois sistemas são respectivamente iguais a e . Portanto, a opção correta é a d. e .

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