Encontre uma base para os seguintes espaços vetoriais
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma base para o espaço vetorial que é formado por matrizes 3x3 do tipo:
Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com espaços vetoriais e bases. Para resolver, vamos precisar entender como expressar qualquer matriz de como uma combinação linear de algumas matrizes básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que cada entrada da matriz é uma expressão linear em , e . Isso significa que podemos separar os termos que dependem de cada uma dessas variáveis.
Vamos reescrever a matriz de forma que fique claro quais termos correspondem a , e :
Passo 3
Agora, identificamos que qualquer matriz em pode ser escrita como uma combinação linear das três matrizes que multiplicamos por , e . Essas três matrizes vão formar a base de .
Então, as matrizes base são:
Resposta
Uma base para é o conjunto das seguintes matrizes: