A matriz A abaixo é diagonalizável? Porque?
A=(ccccc 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 2 )

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem 5 e queremos saber se ela é diagonalizável. Diagonalizável significa que conseguimos transformar essa matriz em uma matriz diagonal usando uma transformação de similaridade. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os autovalores da matriz A = 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 2 . Como é uma matriz triangular superior (tudo abaixo da diagonal principal é zero), os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Então, observando a matriz:
Os autovalores são: .

Passo 3

Agora, vamos contabilizar a multiplicidade algébrica de cada autovalor, ou seja, quantas vezes cada valor aparece na diagonal:
  • : multiplicidade 1
  • : multiplicidade 1
  • : multiplicidade 2
  • : multiplicidade 1
Para a matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica (número de autovetores linearmente independentes) de cada autovalor deve ser igual à sua multiplicidade algébrica.

Passo 4

Vamos verificar se para cada autovalor, o número de autovetores é igual à sua multiplicidade.
  • Para , tem que existir pelo menos 1 autovetor.
  • Para , também temos pelo menos 1 autovetor.
  • Para , precisamos de 2 autovetores.
  • Para , pelo menos 1 autovetor.
Como os autovalores têm multiplicidade algébrica 1, eles automaticamente têm multiplicidade geométrica 1. O ponto crítico é , que tem multiplicidade algébrica 2. Precisamos verificar se existem 2 autovetores distintos para esse autovalor.

Passo 5

Vamos encontrar os autovetores para A - 2I = -1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -3 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -4 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 . Precisamos resolver , onde é a matriz identidade.
Resolvendo esse sistema, percebemos que existem apenas 1 autovetor independente para , o que significa que a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica.

Passo 6

Como para a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), isso significa que não existem suficientes autovetores para diagonalizar a matriz .

Resposta

Não, a matriz não é diagonalizável porque o autovalor não possui um número suficiente de autovetores para satisfazer a condição necessária para a diagonalização.

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