(Espcex (Aman) 2013 - adaptada) Sejam as matrizes e . Se e são valores para os quais é a transposta da Inversa da matriz , então o valor de é
Escolha uma opção:
a. -2b. -1c. -3d. -5e. -4
Passo 1
Então, a gente tem duas matrizes, e . A matriz é e a matriz é . O problema diz que é a transposta da inversa de . Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de e e, finalmente, somar esses valores para descobrir qual das opções (a, b, c, d, e) está correta. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a inversa de uma matriz e como tirar a transposta dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a inversa de uma matriz . Para uma matriz geral , a inversa é , desde que .
Passo 3
Aplicando isso à matriz , temos:
O determinante de é:
Então, a inversa de é:
Passo 4
Agora, tiramos a transposta de :
Segundo o enunciado, essa matriz transposta é igual a :
Passo 5
Isso nos dá um sistema de equações comparando os elementos correspondentes das matrizes:
Passo 6
Vamos resolver a quarta equação primeiro:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Adicionando 15 a ambos os lados:
Dividindo por 9:
Passo 7
Agora que sabemos que , vamos usar a terceira equação para encontrar :