(Espcex (Aman) 2013 - adaptada) Sejam as matrizes
e
. Se
e
são valores para os quais
é a transposta da Inversa da matriz
, então o valor de
é
Escolha uma opção:
a. -2b. -1c. -3d. -5e. -4
Passo 1
Então, a gente tem duas matrizes,
e
. A matriz
é
e a matriz
é
. O problema diz que
é a transposta da inversa de
. Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de
e
e, finalmente, somar esses valores para descobrir qual das opções (a, b, c, d, e) está correta. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a inversa de uma matriz
e como tirar a transposta dela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a inversa de uma matriz
. Para uma matriz geral
, a inversa é
, desde que
.
Passo 3
Aplicando isso à matriz
, temos:
O determinante de
é:
Então, a inversa de
é:
Passo 4
Agora, tiramos a transposta de
:
Segundo o enunciado, essa matriz transposta é igual a
:
Passo 5
Isso nos dá um sistema de equações comparando os elementos correspondentes das matrizes:
Passo 6
Vamos resolver a quarta equação primeiro:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Adicionando 15 a ambos os lados:
Dividindo por 9:
Passo 7
Agora que sabemos que
, vamos usar a terceira equação para encontrar
:
Passo 8
Finalmente, somamos
e
:
Resposta
A soma
é igual a -3, ou seja, a letra c.