(Espcex (Aman) 2013 - adaptada) Sejam as matrizes A=[ll3 & 5 1 & x] e B=[ccx & y+4 y & 3]. Se x e y são valores para os quais B é a transposta da Inversa da matriz A, então o valor de x+y é

Escolha uma opção:

a. -2b. -1c. -3d. -5e. -4

Passo 1

Então, a gente tem duas matrizes, 3 & 5 1 & x e x & y+4 y & 3 . A matriz é e a matriz é . O problema diz que é a transposta da inversa de . Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de e e, finalmente, somar esses valores para descobrir qual das opções (a, b, c, d, e) está correta. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a inversa de uma matriz e como tirar a transposta dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a inversa de uma matriz a & b c & d . Para uma matriz geral d & -b -c & a , a inversa é , desde que .

Passo 3

Aplicando isso à matriz A = 3 & 5 1 & x , temos:
det(A) = 3 cdot x - 5 cdot 1 = 3x - 5
O determinante de A^-1 = 13x - 5 x & -5 -1 & 3 é:
Então, a inversa de é:

Passo 4

Agora, tiramos a transposta de (A^-1)^T = 13x - 5 x & -1 -5 & 3 :
x & y+4 y & 3 = 13x - 5 x & -1 -5 & 3
Segundo o enunciado, essa matriz transposta é igual a :

Passo 5

Isso nos dá um sistema de equações comparando os elementos correspondentes das matrizes:

Passo 6

Vamos resolver a quarta equação primeiro:
3 = 33x - 5
Multiplicando ambos os lados por 3(3x - 5) = 3 :
9x - 15 = 3
Expandindo:
9x = 18
Adicionando 15 a ambos os lados:
x = 2
Dividindo por 9:

Passo 7

Agora que sabemos que y = -53(2) - 5 = -56 - 5 = -51 = -5 , vamos usar a terceira equação para encontrar :

Passo 8

Finalmente, somamos x + y = 2 + (-5) = -3 e :

Resposta

A soma é igual a -3, ou seja, a letra c.

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