(Espcex (Aman) 2013 - adaptada) Sejam as matrizes e . Se e são valores para os quais é a transposta da Inversa da matriz , então o valor de é

Escolha uma opção:

a. -2b. -1c. -3d. -5e. -4

Passo 1

Então, a gente tem duas matrizes, e . A matriz é e a matriz é . O problema diz que é a transposta da inversa de . Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de e e, finalmente, somar esses valores para descobrir qual das opções (a, b, c, d, e) está correta. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a inversa de uma matriz e como tirar a transposta dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a inversa de uma matriz . Para uma matriz geral , a inversa é , desde que .

Passo 3

Aplicando isso à matriz , temos:
O determinante de é:
Então, a inversa de é:

Passo 4

Agora, tiramos a transposta de :
Segundo o enunciado, essa matriz transposta é igual a :

Passo 5

Isso nos dá um sistema de equações comparando os elementos correspondentes das matrizes:

Passo 6

Vamos resolver a quarta equação primeiro:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Adicionando 15 a ambos os lados:
Dividindo por 9:

Passo 7

Agora que sabemos que , vamos usar a terceira equação para encontrar :

Passo 8

Finalmente, somamos e :

Resposta

A soma é igual a -3, ou seja, a letra c.

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