Mostre que beta=3 x^2+x-4,2 x^2+5 x+6, x^2+4 x+8 é uma base de P2(R).

Passo 1

Beleza, então a gente tem o conjunto beta = 3x^2 + x - 4, 2x^2 + 5x + 6, x^2 + 4x + 8 e precisamos mostrar que esse conjunto é uma base de P2(R), que é o espaço das polinômios de grau no máximo 2. Para isso, a gente precisa verificar duas coisas: se os polinômios são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço P2(R). Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no caso) é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a gente tiver a(3x^2 + x - 4) + b(2x^2 + 5x + 6) + c(x^2 + 4x + 8) = 0, isso só acontece se a = b = c = 0.

Passo 3

Vamos montar uma equação para testar essa independência:
a(3x^2 + x - 4) + b(2x^2 + 5x + 6) + c(x^2 + 4x + 8) = 0
Distribuindo os coeficientes:
(3a + 2b + c)x^2 + (a + 5b + 4c)x + (-4a + 6b + 8c) = 0
Para essa igualdade ser verdadeira para todo x, os coeficientes de x^2, x e o termo constante precisam ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
3a + 2b + c = 0 a + 5b + 4c = 0 -4a + 6b + 8c = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema. Uma forma de fazer isso é usando determinantes. Montamos a matriz dos coeficientes:
3 & 2 & 1 1 & 5 & 4 -4 & 6 & 8
Calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, isso significa que a única solução é a = b = c = 0, e portanto os polinômios são linearmente independentes.

Passo 5

Calculando o determinante:
3 & 2 & 1 1 & 5 & 4 -4 & 6 & 8 = 3 cdot (5 cdot 8 - 4 cdot 6) - 2 cdot (1 cdot 8 - 4 cdot (-4)) + 1 cdot (1 cdot 6 - 5 cdot (-4))
Simplificando:
= 3 cdot (40 - 24) - 2 cdot (8 + 16) + 1 cdot (6 + 20) = 3 cdot 16 - 2 cdot 24 + 1 cdot 26 = 48 - 48 + 26 = 26
Como o determinante é 26, que é diferente de zero, os polinômios são linearmente independentes.

Passo 6

Além disso, como temos exatamente três polinômios e o espaço P2(R) tem dimensão 3, a independência linear já garante que eles formam uma base, ou seja, eles também geram todo o espaço P2(R).

Resposta

Portanto, o conjunto beta = 3x^2 + x - 4, 2x^2 + 5x + 6, x^2 + 4x + 8 é uma base de P2(R).

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