Beleza, então a gente tem o conjunto e precisamos mostrar que esse conjunto é uma base de , que é o espaço das polinômios de grau no máximo 2. Para isso, a gente precisa verificar duas coisas: se os polinômios são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço . Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no caso) é linearmente independente se a única combinação linear que dá zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a gente tiver , isso só acontece se .
Passo 3
Vamos montar uma equação para testar essa independência:
Distribuindo os coeficientes:
Para essa igualdade ser verdadeira para todo , os coeficientes de , e o termo constante precisam ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema. Uma forma de fazer isso é usando determinantes. Montamos a matriz dos coeficientes:
3 & 2 & 1 1 & 5 & 4 -4 & 6 & 8
Calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, isso significa que a única solução é a = b = c = 0, e portanto os polinômios são linearmente independentes.
Como o determinante é 26, que é diferente de zero, os polinômios são linearmente independentes.
Passo 6
Além disso, como temos exatamente três polinômios e o espaço P2(R) tem dimensão 3, a independência linear já garante que eles formam uma base, ou seja, eles também geram todo o espaço P2(R).
Resposta
Portanto, o conjunto beta = 3x^2 + x - 4, 2x^2 + 5x + 6, x^2 + 4x + 8 é uma base de P2(R).