Sabendo que o ângulo entre os vetores
e
é de 60 graus, determine o ângulo formado pelos vetores
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão diz que o ângulo entre os vetores
e
é de 60 graus. A gente precisa descobrir qual é o ângulo entre os vetores
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especialmente sobre como a direção dos vetores afeta o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que multiplicar um vetor por
simplesmente inverte sua direção, mas não muda seu tamanho. Então,
aponta na direção oposta a
e
aponta na direção oposta a
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no ângulo entre
e
. Como ambos os vetores foram invertidos, a orientação relativa entre eles permanece a mesma. Isso significa que o ângulo entre eles não muda, porque só a direção individual de cada vetor foi invertida, não a posição relativa entre eles.
Passo 4
Para confirmar isso matematicamente, podemos usar a fórmula do produto escalar:
Substituindo
por
e
por
, temos:
Portanto, o cosseno do ângulo entre
e
é o mesmo que o cosseno do ângulo entre
e
, o que significa que o ângulo permanece o mesmo.
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
é de 60 graus.
Exercícios relacionados
Seja
e
um subsespaço de
. Determine a dimensão de
.
Verifique, em cada caso, se
é um subespaço vetorial de
.
c) se
c)
Mostre que
é uma base de
.
Encontre uma base para
em
.