Encontre cada derivada parcial em relação às variáveis x e y, derivando as funções abaixo pela aplicação da definição formal de derivadas parciais: f(x, y) = 3x^2 + 5xy + 7y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para isso, vamos usar a definição formal de derivadas parciais, que basicamente olha como a função muda quando uma variável muda enquanto a outra fica fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante. Vamos derivar termo a termo:
  • O termo vira (porque a derivada de é e multiplicamos por 3).
  • O termo vira (porque é uma constante, então a derivada de é 1).
  • O termo vira 0 (já que não tem e tratamos como constante).
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , ou seja, . Dessa vez, tratamos como uma constante. Vamos derivar termo a termo:
  • O termo vira 0 (não tem , então a derivada é zero).
  • O termo vira (porque é uma constante, então a derivada de é 1).
  • O termo vira (a derivada de é e multiplicamos por 7).
Então, juntando tudo:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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