Os parâmetros diretores de um vetor não nulo a = (a1, a2, a3) se definem como os ângulos alpha, beta e gamma entre os vetores da base canônica, i, j e k, respectivamente, e o vetor a. Os cossenos diretores de a são cos alpha, cos beta e cos(gamma). Prove: (a) cos alpha = a1 / ||a||, cos beta = a2 / ||a|| e cos(gamma) = a3 / ||a||.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um vetor não nulo . A questão fala sobre os parâmetros diretores desse vetor, que são basicamente os ângulos que o vetor faz com os vetores da base canônica i, j e k. Esses ângulos são chamados de alpha, beta e gamma. O que a gente precisa provar é que os cossenos diretores desses ângulos são iguais a , e , respectivamente. Para isso, vamos precisar entender o que são parâmetros diretores, cossenos diretores e a norma do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor é calculada pela fórmula:
Essa norma nos dá o comprimento do vetor.

Passo 3

Agora, os parâmetros diretores alpha, beta e gamma são os ângulos que o vetor a forma com os eixos x, y e z, respectivamente, ou seja, com os vetores da base canônica i, j e k.

Passo 4

Os cossenos diretores são simplesmente os cossenos desses ângulos. Ou seja:

Passo 5

Para encontrar esses cossenos diretores, podemos usar o produto escalar. O produto escalar entre o vetor a e, por exemplo, i é dado por:
E também sabemos que:
Como , temos:

Passo 6

Isolando cos(alpha), fica:
Fazendo o mesmo para j e k, temos:

Resposta

Portanto, provamos que:

Exercícios relacionados