Os parâmetros diretores de um vetor não nulo
se definem como os ângulos
e
entre os vetores da base canônica,
e
, respectivamente, e o vetor a. Os cossenos diretores de a são
e
. Prove: (a)
e
.
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um vetor não nulo
. A questão fala sobre os parâmetros diretores desse vetor, que são basicamente os ângulos que o vetor faz com os vetores da base canônica
,
e
. Esses ângulos são chamados de
,
e
. O que a gente precisa provar é que os cossenos diretores desses ângulos são iguais a
,
e
, respectivamente. Para isso, vamos precisar entender o que são parâmetros diretores, cossenos diretores e a norma do vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
é calculada pela fórmula:
Essa norma nos dá o comprimento do vetor.
Passo 3
Agora, os parâmetros diretores
,
e
são os ângulos que o vetor
forma com os eixos
,
e
, respectivamente, ou seja, com os vetores da base canônica
,
e
.
Passo 4
Os cossenos diretores são simplesmente os cossenos desses ângulos. Ou seja:
Passo 5
Para encontrar esses cossenos diretores, podemos usar o produto escalar. O produto escalar entre o vetor
e, por exemplo,
é dado por:
E também sabemos que:
Como
, temos:
Passo 6
Isolando
, fica:
Fazendo o mesmo para
e
, temos:
Resposta
Portanto, provamos que: