Um anel circular de raio R0, está posicionado no plano cartesiano x y e possui uma carga com distribuição linear lambda. O centro do anel coincide com a origem do sistema de coordenadas. Determine o vetor campo elétrico para z gg R0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o vetor campo elétrico gerado por um anel carregado com uma distribuição linear de carga, lambda, no plano xy. O anel tem raio R0 e o centro está na origem. Queremos descobrir qual é o campo elétrico em um ponto onde a coordenada z é muito maior que R0 ( z gg R0). Para resolver isso, vamos usar conceitos de campo elétrico de distribuições de carga e a fórmula para o campo de um anel carregado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico devido a uma distribuição de carga pode ser encontrado integrando o campo devido a cada elemento infinitesimal de carga. No caso do anel, devido à simetria circular, o campo resultante em um ponto ao longo do eixo z terá apenas componente nessa direção.

Passo 3

A expressão para o campo elétrico no eixo de um anel carregado é dada por:
Ez = 14pivarepsilon0 cdot Q z(z^2 + R0^2)^3/2
onde Q é a carga total no anel. Mas como temos uma distribuição linear de carga, Q = lambda cdot 2pi R0.

Passo 4

Substituindo Q na expressão do campo:
Ez = 14pivarepsilon0 cdot lambda cdot 2pi R0 cdot z(z^2 + R0^2)^3/2
Simplificando a expressão:
Ez = lambda R0 z2varepsilon0 (z^2 + R0^2)^3/2

Passo 5

Agora, como queremos a expressão para z gg R0, isso significa que z^2 é muito maior que R0^2, então podemos aproximar z^2 + R0^2 approx z^2. Substituindo essa aproximação na expressão:
Ez approx lambda R0 z2varepsilon0 z^3 = lambda R02varepsilon0 z^2

Resposta

O vetor campo elétrico para z gg R0 é:
E approx lambda R02varepsilon0 z^2 , z

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