(a) Encontre o campo elétrico em um ponto situado sobre o eixo do disco a uma distância x do seu centro.
(b) Qual o valor do campo elétrico quando R>>.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática juntos! A questão pede para a gente encontrar o campo elétrico em um ponto localizado sobre o eixo de um disco a uma distância x do centro. Nós vamos precisar usar conceitos de campo elétrico e integrar a contribuição de cada parte do disco. Depois, na parte (b), vamos ver como o campo se comporta quando o raio do disco R é muito maior que x.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico devido a uma distribuição contínua de carga pode ser encontrado integrando as contribuições de pequenas partes dessa carga. No caso de um disco, vamos considerar anéis infinitesimais de carga e calcular o campo elétrico gerado por cada anel no ponto desejado.

Passo 3

Vamos considerar um anel de raio r e espessura dr no disco. A área desse anel é dA = 2pi r dr. Se a densidade de carga superficial do disco é sigma, então a carga nesse anel é dq = sigma dA = 2pi sigma r dr.

Passo 4

O campo elétrico gerado por um anel de carga no ponto ao longo de seu eixo (a uma distância x do centro) tem somente componente na direção do eixo, já que as componentes perpendiculares se cancelam pela simetria. A expressão para o campo de um anel é dE = 14pivarepsilon0 cdot dq cdot x(x^2 + r^2)^3/2.

Passo 5

Substituindo dq na expressão do campo, temos:
dE = 14pivarepsilon0 cdot 2pi sigma r dr cdot x(x^2 + r^2)^3/2
Simplificando os termos, ficamos com:
dE = sigma x r dr2varepsilon0 (x^2 + r^2)^3/2

Passo 6

Para encontrar o campo total, precisamos integrar dE de r = 0 até r = R:
E = integral0^R sigma x r dr2varepsilon0 (x^2 + r^2)^3/2

Passo 7

Fazendo a substituição u = x^2 + r^2, temos du = 2r dr, o que simplifica a integral:
E = sigma x2varepsilon0 integralx^2^x^2 + R^2 du2u^3/2
E = sigma x4varepsilon0 [ -2u^-1/2 ]x^2^x^2 + R^2

Passo 8

Calculando os limites da integral:
E = sigma x4varepsilon0 [ -2(x^2 + R^2)^-1/2 + 2x^-1 ]
Simplificando:
E = sigma2varepsilon0 (1 - xraizx^2 + R^2)

Resposta

O campo elétrico no ponto sobre o eixo do disco a uma distância x do centro é:
E = sigma2varepsilon0 (1 - xraizx^2 + R^2)

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