(a) Encontre o campo elétrico em um ponto situado sobre o eixo do disco a uma distância
do seu centro.
(b) Qual o valor do campo elétrico quando
.
(b) Qual o valor do campo elétrico quando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática juntos! A questão pede para a gente encontrar o campo elétrico em um ponto localizado sobre o eixo de um disco a uma distância
do centro. Nós vamos precisar usar conceitos de campo elétrico e integrar a contribuição de cada parte do disco. Depois, na parte (b), vamos ver como o campo se comporta quando o raio do disco
é muito maior que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico devido a uma distribuição contínua de carga pode ser encontrado integrando as contribuições de pequenas partes dessa carga. No caso de um disco, vamos considerar anéis infinitesimais de carga e calcular o campo elétrico gerado por cada anel no ponto desejado.
Passo 3
Vamos considerar um anel de raio
e espessura
no disco. A área desse anel é
. Se a densidade de carga superficial do disco é
, então a carga nesse anel é
.
Passo 4
O campo elétrico gerado por um anel de carga no ponto ao longo de seu eixo (a uma distância
do centro) tem somente componente na direção do eixo, já que as componentes perpendiculares se cancelam pela simetria. A expressão para o campo de um anel é
.
Passo 5
Substituindo
na expressão do campo, temos:
Simplificando os termos, ficamos com:
Passo 6
Para encontrar o campo total, precisamos integrar
de
até
:
Passo 7
Fazendo a substituição
, temos
, o que simplifica a integral:
Passo 8
Calculando os limites da integral:
Simplificando:
Resposta
O campo elétrico no ponto sobre o eixo do disco a uma distância
do centro é: