- (a) Encontre a carga contida dentro de uma esfera de raio
.
- (b) A partir deste valor, encontre o módulo do campo elétrico para
.
- © Qual carga é contida dentro de uma esfera de raio
onde
?
- (d) A partir deste valor, encontre o módulo do campo elétrico para
quando
.
- (e) Agora considere
quando
. Qual é o módulo do campo elétrico para esta faixa de valores de
?
- (f) A partir deste valor, qual deve ser a carga na superfície interior da esfera oca?
- (g) Da parte (f), qual deve ser a carga na superfície externa da esfera oca?
- (h) Considere as três superfícies esféricas de raios
e
. Qual destas superfícies tem o maior módulo da densidade de carga superficial?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera com diferentes raios (
,
,
) e precisamos encontrar as cargas dentro de esferas de diferentes tamanhos e os campos elétricos correspondentes. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para calcular campos elétricos quando há simetria esférica.
Passo 2
(a) Encontre a carga contida dentro de uma esfera de raio
.
Aqui, queremos saber quanta carga está dentro de uma esfera menor que
. Segundo a Lei de Gauss, a carga dentro de uma superfície fechada depende apenas das cargas dentro dessa superfície.
Passo 3
Assumindo que não há carga dentro da esfera de raio
(pois a carga está distribuída em camadas posteriores), a carga contida dentro dessa esfera é zero:
Passo 4
(b) A partir deste valor, encontre o módulo do campo elétrico para
.
Como a carga dentro da esfera de raio
é zero, pela Lei de Gauss, o campo elétrico dentro dessa região também será zero.
Passo 5
© Qual carga é contida dentro de uma esfera de raio
onde
?
Agora, estamos considerando uma esfera que está entre
e
. Supondo que há uma distribuição de carga na superfície de raio
, a carga contida dentro dessa nova esfera será a carga na superfície de raio
.
Vamos chamar essa carga de
.
Passo 6
(d) A partir deste valor, encontre o módulo do campo elétrico para
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 7
(e) Agora considere
quando
. Qual é o módulo do campo elétrico para esta faixa de valores de
?
Nesta faixa, além de
, temos a carga na superfície de raio
, digamos
. Então, a carga total dentro da esfera de raio
é
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Passo 8
(f) A partir deste valor, qual deve ser a carga na superfície interior da esfera oca?
A esfera oca possui uma superfície interna onde a carga induzida deve cancelar o campo interno. Portanto, a carga na superfície interna será igual a
para neutralizar a carga
dentro de
.
Passo 9
(g) Da parte (f), qual deve ser a carga na superfície externa da esfera oca?
A esfera oca deve ter a carga total fornecida, que é a soma das cargas induzidas e a carga original. Se a esfera oca é neutra e temos
na superfície interna, então a superfície externa deve ter
para manter a neutralidade.
Passo 10
(h) Considere as três superfícies esféricas de raios
e
. Qual destas superfícies tem o maior módulo da densidade de carga superficial?
A densidade de carga superficial (
) é definida como a carga dividida pela área da superfície:
Comparando as superfícies:
- Para
: - Para
: - Para
:
Como
, e supondo que as cargas
são iguais, a menor área (raio menor) terá a maior densidade de carga.
Resposta
A superfície esférica de raio
possui o maior módulo da densidade de carga superficial.
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e
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