• (a) Encontre a carga contida dentro de uma esfera de raio .
  • (b) A partir deste valor, encontre o módulo do campo elétrico para .
  • © Qual carga é contida dentro de uma esfera de raio onde ?
  • (d) A partir deste valor, encontre o módulo do campo elétrico para quando .
  • (e) Agora considere quando . Qual é o módulo do campo elétrico para esta faixa de valores de ?
  • (f) A partir deste valor, qual deve ser a carga na superfície interior da esfera oca?
  • (g) Da parte (f), qual deve ser a carga na superfície externa da esfera oca?
  • (h) Considere as três superfícies esféricas de raios e . Qual destas superfícies tem o maior módulo da densidade de carga superficial?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera com diferentes raios ( , , ) e precisamos encontrar as cargas dentro de esferas de diferentes tamanhos e os campos elétricos correspondentes. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa em eletrostática para calcular campos elétricos quando há simetria esférica.

Passo 2

(a) Encontre a carga contida dentro de uma esfera de raio .
Aqui, queremos saber quanta carga está dentro de uma esfera menor que . Segundo a Lei de Gauss, a carga dentro de uma superfície fechada depende apenas das cargas dentro dessa superfície.

Passo 3

Assumindo que não há carga dentro da esfera de raio (pois a carga está distribuída em camadas posteriores), a carga contida dentro dessa esfera é zero:

Passo 4

(b) A partir deste valor, encontre o módulo do campo elétrico para .
Como a carga dentro da esfera de raio é zero, pela Lei de Gauss, o campo elétrico dentro dessa região também será zero.

Passo 5

© Qual carga é contida dentro de uma esfera de raio onde ?
Agora, estamos considerando uma esfera que está entre e . Supondo que há uma distribuição de carga na superfície de raio , a carga contida dentro dessa nova esfera será a carga na superfície de raio .
Vamos chamar essa carga de .

Passo 6

(d) A partir deste valor, encontre o módulo do campo elétrico para .
Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 7

(e) Agora considere quando . Qual é o módulo do campo elétrico para esta faixa de valores de ?
Nesta faixa, além de , temos a carga na superfície de raio , digamos . Então, a carga total dentro da esfera de raio é .
Aplicando a Lei de Gauss:

Passo 8

(f) A partir deste valor, qual deve ser a carga na superfície interior da esfera oca?
A esfera oca possui uma superfície interna onde a carga induzida deve cancelar o campo interno. Portanto, a carga na superfície interna será igual a para neutralizar a carga dentro de .
í

Passo 9

(g) Da parte (f), qual deve ser a carga na superfície externa da esfera oca?
A esfera oca deve ter a carga total fornecida, que é a soma das cargas induzidas e a carga original. Se a esfera oca é neutra e temos na superfície interna, então a superfície externa deve ter para manter a neutralidade.
í

Passo 10

(h) Considere as três superfícies esféricas de raios e . Qual destas superfícies tem o maior módulo da densidade de carga superficial?
A densidade de carga superficial ( ) é definida como a carga dividida pela área da superfície:
Comparando as superfícies:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Como , e supondo que as cargas são iguais, a menor área (raio menor) terá a maior densidade de carga.

Resposta

A superfície esférica de raio possui o maior módulo da densidade de carga superficial.

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