(a) sumn=1^infty x^nraizn
(b) sumn=1^infty (-1)^n-1 x^nn^3
© sumn=0^infty (3 x-2)^nn!
(d) sumn=1^infty(-1)^n n 4^n x^n
(e) sumn=1^infty (-2)^n x^nraiz[4]n
(f) sumn=2^infty (-1)^n x^n4^n ln n
(g) sumn=0^infty n(x+2)^n3^n+1
(h) sumn=0^infty raizn(x-4)^n
(i) sumn=1^infty (-1)^n(x+2)^nn 2^n
(j) sumn=1^infty n!(2 x-1)^n
(k) sumn=1^infty x^nn raizn 3^n
(l) sumn=1^infty (4 x-5)^2 n+1n^32
(m) sumn=0^infty n(x-5)^nn^2+1
(n) sumn=0^infty n^n(x+2)^n(2 n-5)^n
(o) sumn=0^infty n^4(x-1)^ne^n
§ sumn=0^infty 2^n(x+1)^nn^2+1
(q) sumn=0^infty n(x-1)^2 nn^3+3
( r ) sumn=1^infty(-1)^n 1.3 cdot 5 cdot 7 cdots cdot(2 n-1) x^n3 cdot 6.9 cdots 3 n

Passo 1

Vamos analisar a série infinita sumn=1^infty x^nraizn. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e aplicar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta poderosa para determinar a convergência de séries envolvendo potências de .

Passo 2

Primeiro, identificamos o termo geral da série:
an = x^nraizn
Aplicamos o Teste da Raiz, que nos diz para calcular o limite:
L = limn to infty raiz[n]|an|
Vamos calcular:
raiz[n]|an| = raiz[n]|x|^nraizn = |x| cdot raiz[n]1raizn = |x| cdot n^-12n
Sabemos que:
limn to infty n^-12n = 1
Portanto:
L = |x| cdot 1 = |x|

Passo 3

De acordo com o Teste da Raiz:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo e precisamos analisar de outra forma.
Aplicando isso à nossa série:
  • A série converge absolutamente se .
  • A série diverge se .

Passo 4

Precisamos agora analisar o caso quando sumn=1^infty 1raizn , ou seja, quando sumn=1^infty (-1)^nraizn .
  1. Quando :
    A série se torna:
    Essa é uma série p com . Sabemos que séries p convergem se . Como , a série diverge.
  2. Quando :
    A série se torna:
    Essa é uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série converge se:
    • Os termos são decrescentes.
    • .
    Ambas as condições são satisfeitas, então a série converge condicionalmente quando .

Resposta

A série converge absolutamente para , converge condicionalmente para e diverge para ou .

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