(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
(
)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
(
Passo 1
Vamos analisar a série infinita
. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de
essa série converge. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e aplicar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta poderosa para determinar a convergência de séries envolvendo potências de
.
Passo 2
Primeiro, identificamos o termo geral da série:
Aplicamos o Teste da Raiz, que nos diz para calcular o limite:
Vamos calcular:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 3
De acordo com o Teste da Raiz:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo e precisamos analisar de outra forma.
Aplicando isso à nossa série:
- A série converge absolutamente se
. - A série diverge se
.
Passo 4
Precisamos agora analisar o caso quando
, ou seja, quando
.
-
Quando
:
A série se torna:Essa é uma série p com. Sabemos que séries p convergem se . Como , a série diverge. -
Quando
:
A série se torna:Essa é uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série converge se:- Os termos
são decrescentes. -
.
Ambas as condições são satisfeitas, então a série converge condicionalmente quando. - Os termos
Resposta
A série
converge absolutamente para
, converge condicionalmente para
e diverge para
ou
.
Exercícios relacionados
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Encontre o centro e o raio das esferas
(a)
(b)
(a)
(b)
Mostre que para quaisquer vetores
e
, tem-se:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) (Identidade de Lagrange).
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Determine o valor de
para que os vetores
e
sejam coplanares.