(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
( )

Passo 1

Vamos analisar a série infinita . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e aplicar o Teste da Raiz, que é uma ferramenta poderosa para determinar a convergência de séries envolvendo potências de .

Passo 2

Primeiro, identificamos o termo geral da série:
Aplicamos o Teste da Raiz, que nos diz para calcular o limite:
Vamos calcular:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 3

De acordo com o Teste da Raiz:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo e precisamos analisar de outra forma.
Aplicando isso à nossa série:
  • A série converge absolutamente se .
  • A série diverge se .

Passo 4

Precisamos agora analisar o caso quando , ou seja, quando .
  1. Quando :
    A série se torna:
    Essa é uma série p com . Sabemos que séries p convergem se . Como , a série diverge.
  2. Quando :
    A série se torna:
    Essa é uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que a série converge se:
    • Os termos são decrescentes.
    • .
    Ambas as condições são satisfeitas, então a série converge condicionalmente quando .

Resposta

A série converge absolutamente para , converge condicionalmente para e diverge para ou .

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Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Encontre o centro e o raio das esferas
(a)
(b)
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(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) (Identidade de Lagrange).
Determine o valor de para que os vetores e sejam coplanares.