Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que não é exata inicialmente. O enunciado pede para multiplicar pela fator integrante, transformar em uma equação exata e resolver. Vamos precisar lembrar sobre equações diferenciais exatas e como encontrar o fator integrante para torná-las exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na equação dada:
A equação diferencial está na forma:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos supor que o fator integrante depende apenas de . Então, temos:
A condição para exatidão se torna:
Isso leva à equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Então:
Isto implica que:
Integrando ambos os lados, encontramos .

Passo 5

Calculando , mas para simplificar, notamos que depende apenas de . Portanto, podemos tentar uma função . Substituindo e igualando os termos, encontramos que . Assim, o fator integrante é:

Passo 6

Multiplicando a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 7

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de que surge da integração.

Passo 8

Agora, derivamos em relação a e igualamos à outra função :
Igualando os termos:
Comparando os coeficientes, percebemos que para os termos em equacionarem, a função deve ajustar-se para:
No entanto, para simplificar, notamos que a integração já nos leva à solução implícita, então podemos ignorar para encontrar a constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Encontre o centro e o raio das esferas
(a)
(b)
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
( )
Mostre que para quaisquer vetores e , tem-se:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) (Identidade de Lagrange).