Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que não é exata inicialmente. O enunciado pede para multiplicar pela fator integrante, transformar em uma equação exata e resolver. Vamos precisar lembrar sobre equações diferenciais exatas e como encontrar o fator integrante para torná-las exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação dada:
A equação diferencial está na forma:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Vamos supor que o fator integrante
depende apenas de
. Então, temos:
A condição para exatidão se torna:
Isso leva à equação:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Então:
Isto implica que:
Integrando ambos os lados, encontramos
.
Passo 5
Calculando
, mas para simplificar, notamos que
depende apenas de
. Portanto, podemos tentar uma função
. Substituindo e igualando os termos, encontramos que
. Assim, o fator integrante é:
Passo 6
Multiplicando a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 7
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
que surge da integração.
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à outra função
:
Igualando os termos:
Comparando os coeficientes, percebemos que para os termos em
equacionarem, a função
deve ajustar-se para:
No entanto, para simplificar, notamos que a integração já nos leva à solução implícita, então podemos ignorar
para encontrar a constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Encontre o centro e o raio das esferas
(a)
(b)
(a)
(b)
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
( )
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
(
Mostre que para quaisquer vetores
e
, tem-se:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) (Identidade de Lagrange).
(a)
(b)
©
(d)
(e)