Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(b)
.
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o centroide da região delimitada pelos gráficos das equações
,
,
e
. O centroide é o “centro de massa” da região, ou seja, o ponto que representaria o equilíbrio da área.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente o cálculo de áreas e a determinação das coordenadas do centroide (
e
).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da região delimitada. Como estamos trabalhando com funções de
, vamos integrar em relação a
, entre os limites
e
.
A fórmula para a área
entre duas curvas
e
de
a
é:
Aqui,
e
.
Então,
Passo 3
Vamos calcular a integral para encontrar a área:
Então, a área
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as coordenadas do centroide
.
A coordenada
é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos calcular a integral para
:
Então,
Passo 6
Agora, vamos encontrar a coordenada
. A fórmula é:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos calcular a integral para
:
Então,
Resposta
O centroide da região é
.
Exercícios relacionados
Determine a solução geral do problema
Para isso, use separação de variáveis ou faça
e verifique que
satisfaz um problema de solução já conhecida.
Encontre o comprimento do arco do gráfico da equação dada de
até
ou no intervalo especificado.
© .
©
Seja
Altere uma condição deste problema para que a frequência fundamental da solução passe a ter o valor 10. Faça isso de dois modos diferentes.
Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(f) .
(f)