Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(b) y = x^2, y = 0, x = 1, x = 2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o centroide da região delimitada pelos gráficos das equações , , e . O centroide é o “centro de massa” da região, ou seja, o ponto que representaria o equilíbrio da área.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente o cálculo de áreas e a determinação das coordenadas do centroide ( e ).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da região delimitada. Como estamos trabalhando com funções de , vamos integrar em relação a , entre os limites e .
A fórmula para a área entre duas curvas e de a é:
Aqui, e .
Então,

Passo 3

Vamos calcular a integral para encontrar a área:
Então, a área .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas do centroide .
A coordenada é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos calcular a integral para :
Então,

Passo 6

Agora, vamos encontrar a coordenada . A fórmula é:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos calcular a integral para :
Então,

Resposta

O centroide da região é .

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Determine a solução geral do problema
l 1k ut=ux x+lambda u ; (x, t) in[0, l] times(0, infty) u(0, t)=0=u(l, t), t in[0, infty)
Para isso, use separação de variáveis ou faça u(x, t)=e^k lambda t v(x, t) e verifique que v(x, t) satisfaz um problema de solução já conhecida.
Encontre o comprimento do arco do gráfico da equação dada de P até Q ou no intervalo especificado.
© y = 2*(x-1)^(3/2) ; P(1,0), Q(5,16).
Seja
l ut t=9 ux x ; (x, t) in[0, pi] times(0, infty) u(0, t)=0=u(pi, t), t in[0, infty)
Altere uma condição deste problema para que a frequência fundamental da solução passe a ter o valor 10. Faça isso de dois modos diferentes.
Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(f) y = x^3, y = 0, x = 3.