Encontre o comprimento do arco do gráfico da equação dada de P até Q ou no intervalo especificado.
© y = 2*(x-1)^(3/2) ; P(1,0), Q(5,16).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco do gráfico da equação entre os pontos e . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente o conceito de comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função entre dois pontos e . A fórmula é:
Aqui, é a derivada da função em relação a .

Passo 3

Vamos então calcular a derivada da nossa função . Usando a regra do poder, temos:

Passo 4

Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:

Passo 5

Substituindo na fórmula do comprimento do arco, temos:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja , então ou .
Quando , .
Quando , .
Substituindo na integral:

Passo 7

Vamos integrar :
Então, aplicando os limites:

Passo 8

Calculando :
Então:

Resposta

O comprimento do arco entre os pontos e é aproximadamente 16,59 unidades.

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