Seja
Altere uma condição deste problema para que a frequência fundamental da solução passe a ter o valor 10. Faça isso de dois modos diferentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de equações diferenciais parciais que descreve um tipo de vibração, com certas condições nas bordas. A matéria envolvida aqui é equações de ondas e modos normais. Para resolver, vamos precisar entender como as condições de contorno influenciam as frequências naturais do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Essa é a equação das ondas, onde
representa a vibração ao longo do tempo
e posição
. O coeficiente 9 está relacionado à velocidade da onda no meio.
Passo 3
As condições de contorno são:
Isso significa que as extremidades do sistema estão fixas, ou seja, não se movem durante a vibração.
Passo 4
Para encontrar as frequências naturais (ou próprias) desse sistema, assumimos soluções da forma:
onde
é um número inteiro positivo e
é a frequência angular.
Passo 5
Substituindo essa forma na equação das ondas, temos:
Simplificando, obtemos:
Então, a frequência angular é:
Passo 6
A frequência fundamental é para
:
Queremos que a frequência fundamental seja 10. Vamos ajustar uma condição de contorno para conseguir isso.
Passo 7
A frequência fundamental desejada é 10, então:
Na verdade, precisamos ajustar o coeficiente na equação das ondas para que:
Então, ajustando a equação das ondas:
Passo 8
Outra forma de ajustar a frequência é mudando o comprimento do domínio. Se multiplicarmos
por um fator, a frequência fundamental muda inversamente. Queremos
, então:
Resolvendo para
:
Resposta
As duas formas de alterar uma condição para que a frequência fundamental seja 10 são:
-
Modificar o coeficiente na equação das ondas:
-
Alterar o comprimento do domínio para:
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Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(b) .
(b)
Determine a solução geral do problema
Para isso, use separação de variáveis ou faça
e verifique que
satisfaz um problema de solução já conhecida.
Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(f) .
(f)
Uma esfera de material volátil perde volume a uma taxa proporcional ao quadrado de sua área de superfície. Sabendo que, no instante
, a esfera tem raio 1 e , em
, a esfera tem raio
, determine o raio
em função do tempo
.