Seja
l ut t=9 ux x ; (x, t) in[0, pi] times(0, infty) u(0, t)=0=u(pi, t), t in[0, infty)
Altere uma condição deste problema para que a frequência fundamental da solução passe a ter o valor 10. Faça isso de dois modos diferentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um sistema de equações diferenciais parciais que descreve um tipo de vibração, com certas condições nas bordas. A matéria envolvida aqui é equações de ondas e modos normais. Para resolver, vamos precisar entender como as condições de contorno influenciam as frequências naturais do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada:
utt = 9 uxx
Essa é a equação das ondas, onde representa a vibração ao longo do tempo e posição . O coeficiente 9 está relacionado à velocidade da onda no meio.

Passo 3

As condições de contorno são:
u(0, t) = 0 e u(pi, t) = 0
Isso significa que as extremidades do sistema estão fixas, ou seja, não se movem durante a vibração.

Passo 4

Para encontrar as frequências naturais (ou próprias) desse sistema, assumimos soluções da forma:
u(x, t) = sin(n x) cos(omegan t)
onde é um número inteiro positivo e é a frequência angular.

Passo 5

Substituindo essa forma na equação das ondas, temos:
-omegan^2 sin(n x) cos(omegan t) = 9 (-n^2) sin(n x) cos(omegan t)
Simplificando, obtemos:
omegan^2 = 9 n^2
Então, a frequência angular é:
omegan = 3n

Passo 6

A frequência fundamental é para omega1 = 3 times 1 = 3 :
Queremos que a frequência fundamental seja 10. Vamos ajustar uma condição de contorno para conseguir isso.

Passo 7

A frequência fundamental desejada é 10, então:
omega1 = 10 = 3 times 1 Rightarrow 3 = 10 (sem sentido)
Na verdade, precisamos ajustar o coeficiente na equação das ondas para que:
omega1 = raizk times 1 = 10 Rightarrow raizk = 10 Rightarrow k = 100
Então, ajustando a equação das ondas:
utt = 100 uxx

Passo 8

Outra forma de ajustar a frequência é mudando o comprimento do domínio. Se multiplicarmos omega1 = 3n times piL = 10 para n = 1 por um fator, a frequência fundamental muda inversamente. Queremos L = 3pi10 , então:
Resolvendo para :

Resposta

As duas formas de alterar uma condição para que a frequência fundamental seja 10 são:
  1. Modificar o coeficiente na equação das ondas:
    utt = 100 uxx
  2. Alterar o comprimento do domínio para:
    x in [0, 3pi10]

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