Determine a solução geral do problema
l 1k ut=ux x+lambda u ; (x, t) in[0, l] times(0, infty) u(0, t)=0=u(l, t), t in[0, infty)
Para isso, use separação de variáveis ou faça u(x, t)=e^k lambda t v(x, t) e verifique que v(x, t) satisfaz um problema de solução já conhecida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um problema que envolve resolver uma equação diferencial parcial com certas condições de contorno. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Parciais (EDPs), especialmente usando o método de separação de variáveis ou uma substituição inteligente para simplificar a equação. Vamos precisar entender um pouco sobre como manipular essas equações e aplicar técnicas de solução passo a passo. 😊

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que precisamos resolver:
1k ut = uxx + lambda u
Aqui, u = u(x, t) é uma função que depende de x e t, e ut e uxx representam as derivadas parciais de u em relação ao tempo t e ao espaço x, respectivamente. As condições de contorno são u(0, t) = 0 e u(l, t) = 0, o que significa que nas extremidades do intervalo [0, l], a solução é zero para todo tempo t.

Passo 3

Vamos usar a substituição sugerida:
u(x, t) = e^k lambda t v(x, t)
Essa substituição é útil porque pode simplificar nossa equação inicial. Nosso objetivo é encontrar uma nova equação para v(x, t) que seja mais fácil de resolver.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias para substituir na equação original. Primeiro, a derivada de u em relação ao tempo t:
ut = ddt( e^k lambda t v(x, t) ) = k lambda e^k lambda t v(x, t) + e^k lambda t vt
E a segunda derivada de u em relação ao espaço x:
uxx = d^2dx^2( e^k lambda t v(x, t) ) = e^k lambda t vxx

Passo 5

Substituindo essas derivadas na equação original:
1k ( k lambda e^k lambda t v + e^k lambda t vt ) = e^k lambda t vxx + lambda e^k lambda t v
Simplificando os termos:
lambda e^k lambda t v + 1k e^k lambda t vt = e^k lambda t vxx + lambda e^k lambda t v
Podemos cancelar o termo lambda e^k lambda t v dos dois lados:
1k e^k lambda t vt = e^k lambda t vxx
Dividindo ambos os lados por e^k lambda t:
1k vt = vxx
Ou seja:
vt = k vxx

Passo 6

Agora, temos uma equação mais simples para v(x, t):
vt = k vxx
Essa é a Equação do Calor clássica, que é bem estudada e sabemos como resolver! Com as condições de contorno v(0, t) = 0 e v(l, t) = 0, podemos aplicar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral.

Passo 7

Usando separação de variáveis, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função de x e uma função de t:
v(x, t) = X(x) T(t)
Substituindo isso na equação vt = k vxx:
X(x) T'(t) = k X''(x) T(t)
Dividindo ambos os lados por X(x) T(t):
T'(t)k T(t) = X''(x)X(x) = -mu
Aqui, -mu é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
  1. Para T(t):
T'(t) + k mu T(t) = 0
  1. Para X(x):
X''(x) + mu X(x) = 0

Passo 8

Vamos resolver a equação para X(x) com as condições de contorno X(0) = 0 e X(l) = 0:
X''(x) + mu X(x) = 0
A solução geral dessa equação é:
X(x) = A sin(raizmu x) + B cos(raizmu x)
Aplicando as condições de contorno:
  • Em x = 0: X(0) = B = 0
  • Em x = l: X(l) = A sin(raizmu l) = 0
Para que essa equação seja satisfeita não-trivially (isto é, A neq 0), precisamos que sin(raizmu l) = 0. Isso ocorre quando:
raizmu l = n pi onde n = 1, 2, 3, dots
Portanto:
mun = ( n pil )^2

Passo 9

Agora, resolvemos a equação para T(t) com mu = mun:
T'(t) + k mun T(t) = 0
A solução dessa equação diferencial é:
T(t) = C e^-k mun t = C e^-k ( n pil )^2 t

Passo 10

Juntando as soluções para X(x) e T(t), a solução para v(x, t) é uma soma das soluções para cada n:
v(x, t) = sumn=1^infty Cn sin( n pi xl ) e^-k ( n pil )^2 t

Passo 11

Lembrando da substituição que fizemos no início:
u(x, t) = e^k lambda t v(x, t)
Substituindo v(x, t) na expressão:
u(x, t) = e^k lambda t sumn=1^infty Cn sin( n pi xl ) e^-k ( n pil )^2 t
Podemos combinar os termos exponenciais:
u(x, t) = sumn=1^infty Cn sin( n pi xl ) e^k lambda t - k ( n pil )^2 t = sumn=1^infty Cn sin( n pi xl ) e^k (lambda - ( n pil )^2) t

Resposta

A solução geral do problema é dada por:
u(x, t) = sumn=1^infty Cn sin( n pi xl ) e^k ( lambda - ( n pil )^2 ) t
Onde os coeficientes Cn são determinados pelas condições iniciais do problema.

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Seja
l ut t=9 ux x ; (x, t) in[0, pi] times(0, infty) u(0, t)=0=u(pi, t), t in[0, infty)
Altere uma condição deste problema para que a frequência fundamental da solução passe a ter o valor 10. Faça isso de dois modos diferentes.