Determine a solução geral do problema
Para isso, use separação de variáveis ou faça
e verifique que
satisfaz um problema de solução já conhecida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um problema que envolve resolver uma equação diferencial parcial com certas condições de contorno. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Parciais (EDPs), especialmente usando o método de separação de variáveis ou uma substituição inteligente para simplificar a equação. Vamos precisar entender um pouco sobre como manipular essas equações e aplicar técnicas de solução passo a passo. 😊
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que precisamos resolver:
Aqui,
é uma função que depende de
e
, e
e
representam as derivadas parciais de
em relação ao tempo
e ao espaço
, respectivamente. As condições de contorno são
e
, o que significa que nas extremidades do intervalo
, a solução é zero para todo tempo
.
Passo 3
Vamos usar a substituição sugerida:
Essa substituição é útil porque pode simplificar nossa equação inicial. Nosso objetivo é encontrar uma nova equação para
que seja mais fácil de resolver.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias para substituir na equação original. Primeiro, a derivada de
em relação ao tempo
:
E a segunda derivada de
em relação ao espaço
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na equação original:
Simplificando os termos:
Podemos cancelar o termo
dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Ou seja:
Passo 6
Agora, temos uma equação mais simples para
:
Essa é a Equação do Calor clássica, que é bem estudada e sabemos como resolver! Com as condições de contorno
e
, podemos aplicar o método de separação de variáveis para encontrar a solução geral.
Passo 7
Usando separação de variáveis, assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de uma função de
e uma função de
:
Substituindo isso na equação
:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações ordinárias:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Vamos resolver a equação para
com as condições de contorno
e
:
A solução geral dessa equação é:
Aplicando as condições de contorno:
- Em
: - Em
:
Para que essa equação seja satisfeita não-trivially (isto é,
), precisamos que
. Isso ocorre quando:
Portanto:
Passo 9
Agora, resolvemos a equação para
com
:
A solução dessa equação diferencial é:
Passo 10
Juntando as soluções para
e
, a solução para
é uma soma das soluções para cada
:
Passo 11
Lembrando da substituição que fizemos no início:
Substituindo
na expressão:
Podemos combinar os termos exponenciais:
Resposta
A solução geral do problema é dada por:
Onde os coeficientes
são determinados pelas condições iniciais do problema.
Exercícios relacionados
Encontre o comprimento do arco do gráfico da equação dada de
até
ou no intervalo especificado.
© .
©
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das equações e/ou desigualdades em torno do eixo indicado. Esboce a região e um retângulo representativo.
© , o eixo
.
©
Encontre o centróide da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(b) .
(b)
Seja
Altere uma condição deste problema para que a frequência fundamental da solução passe a ter o valor 10. Faça isso de dois modos diferentes.