Encontre o coeficiente de curtose para as seguintes notas, obtidas em um exame de física para um grupo de estudantes, em uma escala de 1 a 10:
5,5,4,7,7,7,9,8,9,4,3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O objetivo é encontrar o coeficiente de curtose das notas de um exame de física. Curtose é uma medida que nos diz o quão “pontuda” ou “achatada” é a distribuição dos dados em relação a uma distribuição normal. Para isso, vamos precisar calcular a média, a variância e outros momentos da distribuição das notas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média das notas. A média é a soma de todas as notas dividida pelo número de estudantes.
Média = 5 + 5 + 4 + 7 + 7 + 7 + 9 + 8 + 9 + 4 + 311 é
Média = 6811 approx 6,18 é

Passo 3

Agora, vamos encontrar a diferença de cada nota em relação à média. Isso nos ajuda a ver como cada nota se desvia da média.
Por exemplo, para a primeira nota (5):
5 - 6,18 = -1,18
Fazemos isso para todas as notas:
  • 5: 5 - 6,18 = -1,18
  • 5: 5 - 6,18 = -1,18
  • 4: 4 - 6,18 = -2,18
  • 7: 7 - 6,18 = 0,82
  • 7: 7 - 6,18 = 0,82
  • 7: 7 - 6,18 = 0,82
  • 9: 9 - 6,18 = 2,82
  • 8: 8 - 6,18 = 1,82
  • 9: 9 - 6,18 = 2,82
  • 4: 4 - 6,18 = -2,18
  • 3: 3 - 6,18 = -3,18

Passo 4

Vamos elevar cada uma dessas diferenças ao quadrado para calcular a variância. A variância nos dá uma ideia de quanta variação existe nas notas.
(-1,18)^2 = 1,3924 (-1,18)^2 = 1,3924 (-2,18)^2 = 4,7524 0,82^2 = 0,6724 0,82^2 = 0,6724 0,82^2 = 0,6724 2,82^2 = 7,9524 1,82^2 = 3,3124 2,82^2 = 7,9524 (-2,18)^2 = 4,7524 (-3,18)^2 = 10,1124
Somando todos esses valores:
1,3924 + 1,3924 + 4,7524 + 0,6724 + 0,6724 + 0,6724 + 7,9524 + 3,3124 + 7,9524 + 4,7524 + 10,1124 = 47,842
A variância é então:
Variância = 47,84211 approx 4,35 â

Passo 5

Para calcular a curtose, precisamos do quarto momento da distribuição, ou seja, elevar as diferenças em relação à média à quarta potência.
Vamos calcular isso para cada diferença:
(-1,18)^4 approx 1,9681 (-1,18)^4 approx 1,9681 (-2,18)^4 approx 22,4505 0,82^4 approx 0,4521 0,82^4 approx 0,4521 0,82^4 approx 0,4521 2,82^4 approx 63,2746 1,82^4 approx 10,9853 2,82^4 approx 63,2746 (-2,18)^4 approx 22,4505 (-3,18)^4 approx 101,6673
Somando todos esses valores:
1,9681 + 1,9681 + 22,4505 + 0,4521 + 0,4521 + 0,4521 + 63,2746 + 10,9853 + 63,2746 + 22,4505 + 101,6673 approx 289,099

Passo 6

Agora, vamos calcular o quarto momento central, que é a média desses valores:
Quarto Momento Central = 289,09911 approx 26,2826

Passo 7

A curtose é dada pela relação entre o quarto momento central e o quadrado da variância. Além disso, costumamos subtrair 3 para ajustar a curtose em relação à distribuição normal (que tem curtose igual a 3).
Então, a fórmula fica:
Curtose = 26,2826(4,35)^2 - 3
Calculando o denominador:
(4,35)^2 = 18,9225
Agora, a curtose:
Curtose = 26,282618,9225 - 3 approx 1,387 - 3 = -1,613

Resposta

O coeficiente de curtose das notas é aproximadamente -1,61.

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