Encontre o coeficiente de x^10 em 1+x(1-x)^6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o coeficiente de na expressão . Aqui, a gente vai trabalhar com álgebra e um pouquinho de teoria de séries. Vamos precisar usar a expansão binomial para lidar com o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a resolução:
1+x(1-x)^6 = 1(1-x)^6 + x(1-x)^6
Agora, vamos tratar cada parte separadamente.

Passo 3

Sabemos que a expansão de 1(1-x)^k = sumn=0^infty binomn+k-1k-1 x^n é dada por:
1(1-x)^6 = sumn=0^infty binomn+55 x^n
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, vamos olhar para cada parte da nossa expressão original:
  1. Para binom10+55 = binom155 , o coeficiente de binom9+55 = binom145 é:
  1. Para , estamos basicamente multiplicando a série por , então o coeficiente de vira o coeficiente de na série original:

Passo 5

Agora, vamos calcular esses binômios:
binom155 = 3003
binom145 = 2002

Passo 6

Finalmente, somamos os dois coeficientes para obter o coeficiente total de 3003 + 2002 = 5005 :

Resposta

O coeficiente de é 5005.

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