Encontre o coeficiente de x^10 em 1(1-x)^5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o coeficiente de na expressão . Isso envolve um pouco de álgebra e conhecimento de séries binomiais. Vamos precisar entender como expandir essa fração e identificar o termo que multiplica .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que 1(1 - x)^k = sumn=0^infty binomn + k - 1k - 1 x^n pode ser expandido usando a série binomial para expoentes negativos. A fórmula geral para essa expansão é:
Onde é o coeficiente binomial.

Passo 3

No nosso caso, 1(1 - x)^5 = sumn=0^infty binomn + 5 - 15 - 1 x^n = sumn=0^infty binomn + 44 x^n . Então, substituindo na fórmula, temos:
Isso significa que o coeficiente de é .

Passo 4

Queremos encontrar o coeficiente de binom10 + 44 = binom144 . Isso significa que . Vamos substituir esse valor na expressão do coeficiente:

Passo 5

Agora, vamos calcular binom144 = 14!4!(14 - 4)! = 14!4! cdot 10! . A fórmula do coeficiente binomial é:
14! = 14 times 13 times 12 times 11 times 10!
Calculando passo a passo:
binom144 = 14 times 13 times 12 times 11 times 10!4! times 10! = 14 times 13 times 12 times 114!
4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24
binom144 = 14 times 13 times 12 times 1124 = 2402424 = 1001
Então:

Resposta

O coeficiente de em é 1001.

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