Encontre o comprimento de um arco do cicloide
x=r(theta-sen theta) y=r(1-cos theta), 0 <= theta <= 2 pi

  1. ^1 O vetor binormal de uma curva sigma(t) é definido por B(t)=T(t) times N(t), onde T(t) é o vetor tangente unitário e N(t) é o normal principal. Dessa forma, B(t) é um vetor unitário, perpendicular a T(t) e a N(t).
    ^2 A curvatura k(t) de uma curva é a medida da taxa de variação de sua direção, tomando esta variação em relação ao comprimento de arco s: k(t)=|d Td s|. Usando a regra da cadeia, pode-se mostrar que k(t)=|T^prime(t)|v(t), se v(t) neq 0. ↩︎

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é um problema de cálculo de comprimento de arco aplicado a uma curva chamada cicloide. Nosso objetivo é encontrar o comprimento do arco dessa cicloide dado pelas equações paramétricas:
x = r(theta - sen theta) y = r(1 - cos theta), 0 <= theta <= 2pi
Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva paramétrica. Se temos uma curva definida por L = integrala^b raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 , dtheta e , o comprimento do arco de até é dado por:
Então, nosso primeiro passo é calcular as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular dxdtheta = ddtheta [ r(theta - sin theta) ] = r(1 - cos theta) :
dydtheta = ddtheta [ r(1 - cos theta) ] = r sin theta
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos substituí-las na fórmula do comprimento de arco:
L = integral0^2pi raiz ( r(1 - cos theta) )^2 + ( r sin theta )^2 , dtheta
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
( r(1 - cos theta) )^2 + ( r sin theta )^2 = r^2 (1 - cos theta)^2 + r^2 sin^2 theta
Factorizando = r^2 [ (1 - cos theta)^2 + sin^2 theta ] :

Passo 5

Expandindo e simplificando dentro dos colchetes:
(1 - cos theta)^2 + sin^2 theta = 1 - 2cos theta + cos^2 theta + sin^2 theta
Sabemos que = 1 - 2cos theta + 1 = 2 - 2cos theta = 2(1 - cos theta) , então:
L = integral0^2pi raiz r^2 cdot 2(1 - cos theta) , dtheta = r raiz2 integral0^2pi raiz1 - cos theta , dtheta
Então, a expressão fica:

Passo 6

Para simplificar 1 - cos theta = 2 sin^2 ( theta2 ) , usamos a identidade trigonométrica:
raiz1 - cos theta = raiz2 sin ( theta2 )
Então:
L = r raiz2 cdot raiz2 integral0^2pi sin ( theta2 ) dtheta = 2r integral0^2pi sin ( theta2 ) dtheta
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, integramos integral sin ( theta2 ) dtheta = -2 cos ( theta2 ) + C :
-2 cos ( 2pi2 ) + 2 cos ( 02 ) = -2 cos (pi) + 2 cos (0) = -2(-1) + 2(1) = 2 + 2 = 4
Aplicando os limites de integração de a :

Passo 8

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão para L = 2r cdot 4 = 8r :

Resposta

O comprimento do arco da cicloide é .

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