vetor binormal de uma curva é definido por , onde é o vetor tangente unitário e é o normal principal. Dessa forma, é um vetor unitário, perpendicular a e a . curvatura de uma curva é a medida da taxa de variação de sua direção, tomando esta variação em relação ao comprimento de arco . Usando a regra da cadeia, pode-se mostrar que k(t)=|T^prime(t)|v(t), se v(t) neq 0. ↩︎
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é um problema de cálculo de comprimento de arco aplicado a uma curva chamada cicloide. Nosso objetivo é encontrar o comprimento do arco dessa cicloide dado pelas equações paramétricas:
x = r(theta - sen theta) y = r(1 - cos theta), 0 <= theta <= 2pi
Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva paramétrica. Se temos uma curva definida por L = integrala^b raiz(dxdtheta)^2 + (dydtheta)^2 , dtheta e , o comprimento do arco de até é dado por:
Então, nosso primeiro passo é calcular as derivadas de e em relação a .
Passo 3
Vamos calcular dxdtheta = ddtheta [ r(theta - sin theta) ] = r(1 - cos theta) :
dydtheta = ddtheta [ r(1 - cos theta) ] = r sin theta
Agora, vamos calcular :
Passo 4
Com as derivadas em mãos, vamos substituí-las na fórmula do comprimento de arco:
L = integral0^2pi raiz ( r(1 - cos theta) )^2 + ( r sin theta )^2 , dtheta
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
( r(1 - cos theta) )^2 + ( r sin theta )^2 = r^2 (1 - cos theta)^2 + r^2 sin^2 theta