Para a curva r(t)=(t, raiz2 ln t, 1 / t), determine os vetores tangente unitário, normal principal e binormal, assim como a curvatura, no ponto ( 1,0,1 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os vetores tangente unitário, normal principal e binormal, além da curvatura, para a curva dada por no ponto . Vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente derivados de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o parâmetro x(t) = t = 1 Rightarrow t = 1 que corresponde ao ponto y(t) = raiz2 ln t = 0 Rightarrow ln t = 0 Rightarrow t = 1 . Então, vamos igualar cada componente de z(t) = 1t = 1 Rightarrow t = 1 a 1, 0 e 1, respectivamente.
Então:
Então, o parâmetro correspondente ao ponto dado é .

Passo 3

Agora, para encontrar o vetor tangente unitário, precisamos derivar r(t) = (t, raiz2 ln t, 1t) em relação a r'(t) = (ddt t, ddt raiz2 ln t, ddt 1t) = (1, raiz2t, -1t^2) para obter r'(1) = (1, raiz2, -1) :
|r'(1)| = raiz1^2 + (raiz2)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 2 + 1 = raiz4 = 2
T = r'(1)|r'(1)| = (12, raiz22, -12)
Em :
Agora, o vetor tangente unitário é dividido pela sua magnitude:
Então:

Passo 4

Para encontrar o vetor normal principal r''(t) = (0, -raiz2t^2, 2t^3) , precisamos derivar r''(1) = (0, -raiz2, 2) em relação a T'(1) = r''(1)|r'(1)| - r'(1)(r'(1) cdot r''(1))|r'(1)|^2 e então normalizar esse vetor.
Primeiro, derivamos (1)(0) + (raiz2)(-raiz2) + (-1)(2) = 0 - 2 - 2 = -4 :
T'(1) = (0, -raiz2, 2) cdot 2 - (1, raiz2, -1)(-4)4 = (0, -2raiz2, 4) - (-4, -4raiz2, 4)4
Em = (4, 2raiz2, 0)4 = (1, raiz22, 0) :
|T'(1)| = raiz1^2 + (raiz22)^2 + 0^2 = raiz1 + 24 = raiz32 = raiz62
Agora, a derivada do vetor tangente N = T'(1)|T'(1)| = (2raiz6, raiz2raiz6, 0) em é:
Calculando o produto escalar :
Então:
Agora, o vetor normal principal é normalizado:
Então:

Passo 5

Para encontrar o vetor binormal B = T times N , usamos o produto vetorial entre T = (12, raiz22, -12), N = (2raiz6, raiz2raiz6, 0) e B = i & j & k 12 & raiz22 & -12 2raiz6 & raiz2raiz6 & 0 = (raiz22 cdot 0 - (-12) cdot raiz2raiz6, -(12 cdot 0 - (-12) cdot 2raiz6), 12 cdot raiz2raiz6 - raiz22 cdot 2raiz6) :
= (raiz22raiz6, 12raiz6, -raiz22raiz6)
Calculando:
B = (12raiz3, 12raiz6, -raiz22raiz6)
Simplificando:

Passo 6

Por último, para encontrar a curvatura kappa = |r'(t) times r''(t)||r'(t)|^3 , usamos a fórmula:
r'(1) = (1, raiz2, -1), r''(1) = (0, -raiz2, 2)
Calculando o produto vetorial r'(1) times r''(1) = i & j & k 1 & raiz2 & -1 0 & -raiz2 & 2 = (raiz2 cdot 2 - (-1) cdot (-raiz2), -(1 cdot 2 - (-1) cdot 0), 1 cdot (-raiz2) - raiz2 cdot 0) :
= (2raiz2 - raiz2, -2, -raiz2) = (raiz2, -2, -raiz2)
|r'(1) times r''(1)| = raiz(raiz2)^2 + (-2)^2 + (-raiz2)^2 = raiz2 + 4 + 2 = raiz8 = 2raiz2
|r'(1)|^3 = (2)^3 = 8
A magnitude desse vetor:
kappa = 2raiz28 = raiz24
E:
Então:

Resposta

No ponto , os vetores são:
  • Vetor tangente unitário
  • Vetor normal principal
  • Vetor binormal
A curvatura no ponto é .

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