Para a curva , determine os vetores tangente unitário, normal principal e binormal, assim como a curvatura, no ponto ( ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os vetores tangente unitário, normal principal e binormal, além da curvatura, para a curva dada por no ponto . Vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente derivados de curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o parâmetro que corresponde ao ponto . Então, vamos igualar cada componente de a 1, 0 e 1, respectivamente.
Então:
Então, o parâmetro correspondente ao ponto dado é .
Passo 3
Agora, para encontrar o vetor tangente unitário, precisamos derivar em relação a para obter :
Em :
Agora, o vetor tangente unitário é dividido pela sua magnitude:
Então:
Passo 4
Para encontrar o vetor normal principal , precisamos derivar em relação a e então normalizar esse vetor.
Primeiro, derivamos :
Em :
Agora, a derivada do vetor tangente em é:
Calculando o produto escalar :
Então:
Agora, o vetor normal principal é normalizado:
Então:
Passo 5
Para encontrar o vetor binormal B = T times N , usamos o produto vetorial entre T = (12, raiz22, -12), N = (2raiz6, raiz2raiz6, 0) e B = i & j & k 12 & raiz22 & -12 2raiz6 & raiz2raiz6 & 0 = (raiz22 cdot 0 - (-12) cdot raiz2raiz6, -(12 cdot 0 - (-12) cdot 2raiz6), 12 cdot raiz2raiz6 - raiz22 cdot 2raiz6) :
= (raiz22raiz6, 12raiz6, -raiz22raiz6)
Calculando:
B = (12raiz3, 12raiz6, -raiz22raiz6)
Simplificando:
Passo 6
Por último, para encontrar a curvatura kappa = |r'(t) times r''(t)||r'(t)|^3 , usamos a fórmula: