Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
A=[rrr1 & -1 & 0 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2]

Passo 1

Vamos calcular os valores próprios e os vetores próprios da matriz dada:
A = 1 & -1 & 0 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2
Este exercício está relacionado ao estudo de valores e vetores próprios na álgebra linear. Para resolver, precisamos encontrar os valores de que satisfazem a equação característica e, em seguida, determinar os vetores próprios correspondentes a cada .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica da matriz A - lambda I = 1 - lambda & -1 & 0 2 & 3 - lambda & 2 1 & 1 & 2 - lambda . Isso envolve calcular o determinante da matriz , onde é a matriz identidade:

Passo 3

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = 1 - lambda & -1 & 0 2 & 3 - lambda & 2 1 & 1 & 2 - lambda
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão pelo primeiro elemento da primeira linha:
(1 - lambda) cdot 3 - lambda & 2 1 & 2 - lambda - (-1) cdot 2 & 2 1 & 2 - lambda + 0 cdot 2 & 3 - lambda 1 & 1
Calculando os determinantes menores:
(1 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - (2)(1)] + 1[(2)(2 - lambda) - (2)(1)]
Simplificando:
(1 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - 2] + 1[(4 - 2lambda) - 2]
(1 - lambda)[(6 - 5lambda + lambda^2) - 2] + (2 - 2lambda)
(1 - lambda)(4 - 5lambda + lambda^2) + 2 - 2lambda
Expandindo:
4(1 - lambda) - 5lambda(1 - lambda) + lambda^2(1 - lambda) + 2 - 2lambda
4 - 4lambda - 5lambda + 5lambda^2 + lambda^2 - lambda^3 + 2 - 2lambda
Juntando os termos semelhantes:
- lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6 = 0

Passo 4

Agora, temos a equação característica:
- lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6 = 0
Podemos multiplicar todos os termos por lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = 0 para facilitar:
1 - 6 + 11 - 6 = 0 (funciona)
Vamos encontrar as raízes dessa equa��ão, que são os valores próprios. Vamos tentar valores inteiros que dividam 6:
Testando (lambda - 1)(lambda^2 - 5lambda + 6) = 0 :
lambda^2 - 5lambda + 6 = 0
Então, lambda = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12 é uma raiz. Podemos fatorar lambda = 3 e lambda = 2 da equação:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
As soluções são:
Então:
Portanto, os valores próprios são , e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Para cada A - lambda I = 0 & -1 & 0 2 & 2 & 2 1 & 1 & 1 , resolvemos - v2 = 0 2v1 + 2v2 + 2v3 = 0 v1 + v2 + v3 = 0 , onde 2v1 + 0 + 2v3 = 0 Rightarrow v1 = -v3 é o vetor próprio.
Para v1 + 0 + v3 = 0 Rightarrow v1 = -v3 :
v = -1 0 1
Resolvendo o sistema:
A - lambda I = -1 & -1 & 0 2 & 1 & 2 1 & 1 & 0
Da primeira equação: - v1 - v2 = 0 2v1 + v2 + 2v3 = 0 v1 + v2 = 0 .
Substituindo na segunda:
2(-v2) + v2 + 2v3 = 0 Rightarrow -v2 + 2v3 = 0 Rightarrow v2 = 2v3
Da terceira:
v = -2 2 1
Portanto, podemos escolher A - lambda I = -2 & -1 & 0 2 & 0 & 2 1 & 1 & -1 , então -2v1 - v2 = 0 2v1 + 2v3 = 0 v1 + v2 - v3 = 0 e - v3 + 2v3 - v3 = 0 Rightarrow 0 = 0 .
O vetor próprio é:
v = -1 2 1
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira e terceira equa��ões: .
Substituindo na segunda:
Então, .
Escolhendo , temos e .
O vetor próprio é:
Para :
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: .
Da primeira equação: .
Da terceira equação:
Então, podemos escolher , então e .
O vetor próprio é:

Resposta

Os valores próprios da matriz lambda = 1 Rightarrow v = -1 0 1 são lambda = 2 Rightarrow v = -2 2 1 , lambda = 3 Rightarrow v = -1 2 1 e .
Os vetores próprios correspondentes são:

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