Encontre o comprimento de arco da curva,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o comprimento do arco da curva dada por
no intervalo de
até
. O conteúdo aqui envolve cálculo de comprimentos de arco para curvas no espaço, utilizando derivadas e integrais. Vamos precisar calcular a derivada da função vetorial, encontrar o módulo dessa derivada e depois integrar esse módulo no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
. A derivada
nos dá a velocidade da curva em cada ponto.
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o módulo dessa derivada, que representa a velocidade instantânea da curva. O módulo de um vetor
é dado por:
Aplicando isso à nossa derivada:
Passo 4
O próximo passo é integrar esse módulo de
até
para encontrar o comprimento do arco. A fórmula para o comprimento do arco
é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica. Observamos que a expressão dentro da raiz é semelhante à identidade
, onde
e
.
Vamos fazer a substituição:
Então,
ou
A integral fica:
Passo 6
A integral
tem uma solução padrão:
Aplicando isso com
:
Passo 7
Agora, vamos calcular os limites:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Simplificando:
Resposta
O comprimento do arco da curva é
unidades.
Exercícios relacionados
Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento do arco dado.
(a) ; de
a
(b) ; de
a
© ; de
a
(d) ; de
a
(a)
(b)
©
(d)
Calcule
.
b) e
.
b)
Se a equação vetorial da curva
for
, encontre o cosseno do ângulo entre os vetores
e
Encontre o triedro móvel e a curvatura no ponto onde
da cúbica retorcida